확률밀도함수

확률밀도함수 $f$는 넓이를 통해 연속확률변수 $X$을 나타냅니다. $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$이며 $f \ge 0$이고, 전체 넓이는 1입니다. 여기서는 수직선을 너비 $w$인 계급으로 나눕니다. 각 막대는 계급의 정확한 확률 또는 이를 $w$로 나눈 값을 나타내며 $f$ 위에 겹쳐 그립니다. 아래에는 누적분포함수 $F$이 있습니다. 막대가 밀도를 나타낼 때 $w$를 절반으로 줄이면 막대 높이가 $f$에 가까워집니다. 다섯 가지 분포를 살펴볼 수 있으며, 그중 하나는 직접 그릴 수 있습니다.

높이 $f(x)$는 무엇을 나타낼까요? 확률 자체가 아니라 단위 길이당 확률입니다. 계급의 확률을 계급 너비로 나눈 값은 그 계급에서 $f$의 평균값입니다. 따라서 $f$가 $x$에서 연속이면 $w$가 줄어들수록 $x$를 포함하는 막대 높이는 $f(x)$에 가까워지고, 짧은 구간에서는 $P(x \le X \le x + \Delta x) \approx f(x)\,\Delta x$입니다. 이 때문에 밀도는 1을 넘을 수 있지만 확률은 그럴 수 없습니다. 확률은 넓이이므로 높고 좁은 영역도 넓이는 작을 수 있습니다. 한 점은 너비가 0인 구간이므로 $f(x)$의 값에 관계없이 $P(X = x) = 0$입니다. 이런 변수에서는 $\le$와 $<$를 사용해도 확률은 같습니다.

밀도와 누적분포함수는 어떻게 연결될까요? $F(x) = P(X \le x)$는 $x$의 왼쪽에 있는 $f$의 그래프 아래 넓이입니다. 따라서 위쪽 그림의 $[a, b]$ 위 넓이는 아래쪽 그림의 증가량 $F(b) - F(a)$와 같습니다. 계급의 확률은 그 계급에서 $F$의 증가량이므로, $w$로 나눈 막대 높이는 해당 계급에서 $F$의 할선 기울기입니다. $w$가 줄어들면 할선은 접선에 가까워집니다. $f$가 연속인 곳에서는 $F'(x) = f(x)$이며, 이것이 미적분학의 기본정리입니다. 균등밀도의 양 끝처럼 $f$가 뛰는 곳에서는 $F$에 모서리가 생기고, 왼쪽과 오른쪽 기울기는 각각 $f$의 양쪽 값입니다. $f$를 한 점에서만 바꾸면 넓이는 변하지 않으므로 확률도 변하지 않습니다.

히스토그램을 밀도와 비교하기 전에 왜 막대 높이를 계급 너비로 나눌까요? 나누지 않으면 막대는 확률을 나타내며, 계급이 좁아질수록 $f$가 아니라 0에 가까워집니다. $w$로 나누면 너비와 관계없이 수직선 전체에 걸친 막대 넓이의 합은 1이 됩니다. 따라서 계급을 다르게 나눈 히스토그램을 서로 비교하거나 $f$ 위에 겹칠 수 있습니다. 데이터의 히스토그램도 마찬가지로, 정확한 계급 확률 대신 각 계급에 속하는 표본의 비율을 사용합니다.