정규분포

정규분포가 $N(\mu, \sigma^2)$인 확률변수 $X$의 밀도는 종 모양입니다. 평균 $\mu$가 꼭대기의 위치이며 표준편차 $\sigma$가 너비를 정합니다. $X$가 두 값 사이에 놓일 확률은 그 사이의 곡선 아래 넓이입니다. 여기서는 곡선 아래에 두 눈금자가 있습니다. $x$는 값을, $z$는 표준화 단위를 나타냅니다. $\mu$와 $\sigma$를 움직이고, $a$와 $b$에 경계를 두고, 화면에서 어느 눈금자를 고정할지 고를 수 있습니다.

왜 모든 정규곡선이 같은 곡선일까요? $z$ 눈금자를 고정하고 $\mu$나 $\sigma$를 바꿔 보세요. 화면의 곡선은 그대로입니다. 대신 아래의 $x$ 눈금자가 이동하고 늘어나며, 밀도 눈금의 숫자도 바뀝니다. 경계는 $x$의 값이므로 그 눈금자를 따라 움직입니다. 색칠한 넓이는 경계의 $z$ 눈금자상 위치가 달라질 때만 바뀝니다. 모든 정규분포는 표준정규분포 $N(0, 1)$을 다른 눈금자로 읽은 것이므로 다음 관계가 성립합니다: $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$. 여기서 $\Phi(z)$는 표준곡선 아래에서 $z$의 왼쪽에 있는 넓이입니다.

곡선의 어디에서 $\sigma$를 볼 수 있을까요? 변곡점입니다. 일반 눈금에서는 $\mu - \sigma$와 $\mu + \sigma$ 사이에서 위로 볼록하고 바깥에서는 아래로 볼록합니다. 두 변곡점에서 접선은 곡선을 가로지릅니다. 모양이 바뀌지 않으므로 평균에서 표준편차의 $k$배 이내 넓이는 $\mu$나 $\sigma$에 무관합니다. 1배 이내가 약 68.27%, 2배 이내가 약 95.45%, 3배 이내가 약 99.73%입니다.

왜 좁은 곡선이 더 높을까요? 전체 넓이는 항상 1입니다. ‘만드는 과정’은 표준곡선에서 시작하는 두 단계를 보여 줍니다. $\mu$로 옮기고 가로로 $\sigma$배 늘이면 곡선 아래 넓이는 $\sigma$가 됩니다. 높이를 $\sigma$로 나누면 넓이가 다시 1이 됩니다. 따라서 꼭대기 높이는 $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$이며, $\sigma$를 반으로 줄이면 높이는 2배가 됩니다. 높이는 밀도, 즉 $x$ 단위당 확률입니다. 확률인 것은 넓이뿐입니다.

꼬리는 얼마나 얇을까요? 일반 눈금에서는 약 $3\sigma$ 부근에서 곡선이 축에 닿는 듯하지만 결코 0이 되지 않습니다. 로그 눈금에서 $\log f$는 $x$의 이차함수이므로 곡선이 위로 볼록한 포물선이 되고, 꼬리는 갈수록 빠르게 내려갑니다. 양쪽 꼬리를 합쳐 $3\sigma$ 바깥의 확률은 약 0.270%, $4\sigma$ 바깥은 약 15,800분의 1, $6\sigma$ 바깥은 약 5억 700만 분의 1입니다. 로그 눈금에서는 곡선 아래 넓이가 더 이상 확률이 아니므로, 영역은 $x$ 눈금자 위에만 표시합니다.