正規分布

正規分布$N(\mu, \sigma^2)$に従う確率変数$X$は、釣鐘形の密度を持ちます。平均$\mu$が頂点の位置、標準偏差$\sigma$が幅を決めます。$X$が2つの値の間に入る確率は、その間の曲線の下の面積です。ここでは曲線の下に2種類の目盛りがあり、$x$は値を、$z$は標準化した単位を表します。$\mu$と$\sigma$を動かし、$a$と$b$に境界を置き、どちらの目盛りを画面に固定するか選べます。

なぜどの正規曲線も同じ曲線なのでしょうか。$z$の目盛りを固定し、$\mu$や$\sigma$を変えてみてください。画面上の曲線は動きません。その代わり、下の$x$の目盛りが移動・伸縮し、密度の目盛りの数値が変わります。境界は$x$の値なので、その目盛りと一緒に動きます。塗った面積が変わるのは、境界の$z$の目盛り上の位置が変わるときだけです。どの正規分布も標準正規分布$N(0, 1)$を別の目盛りで読んだものなので、$P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$が成り立ちます。ここで$\Phi(z)$は、標準正規曲線の下で$z$より左にある面積です。

曲線のどこに$\sigma$が表れるのでしょうか。変曲点です。通常の目盛りでは、曲線は$\mu - \sigma$と$\mu + \sigma$の間で上に凸、その外側で下に凸です。この2つの変曲点で、接線は曲線を横切ります。形が変わらないので、平均から標準偏差の$k$倍以内の面積は$\mu$や$\sigma$によらず、1倍以内が約68.27%、2倍以内が約95.45%、3倍以内が約99.73%です。

なぜ狭い曲線ほど高いのでしょうか。全体の面積が常に1だからです。「組み立て」は、標準正規曲線からの2段階を示します。$\mu$まで平行移動し、横方向に$\sigma$倍すると面積は$\sigma$になります。高さを$\sigma$で割ると、面積は再び1です。したがって頂点の高さは$1/(\sigma\sqrt{2\pi})$で、$\sigma$を半分にすると高さは2倍になります。高さは密度、つまり$x$の1単位あたりの確率です。確率を表すのは面積だけです。

裾はどれほど薄いのでしょうか。通常の目盛りでは、曲線は約$3\sigma$の位置で軸に重なるように見えますが、決して0にはなりません。対数目盛りでは$\log f$が$x$の二次関数なので、曲線は上に凸の放物線になり、裾は外に行くほど急に下がります。左右を合わせた$3\sigma$より外側の確率は約0.270%、$4\sigma$より外側は約15,800分の1、$6\sigma$より外側は約5億700万分の1です。対数目盛りでは曲線の下の面積は確率を表さなくなるため、領域は$x$の目盛り上だけに示します。