中心極限定理：インタラクティブな可視化

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この可視化での中心極限定理

$X_1, \dots, X_n$ を、平均 $\mu$ 、分散 $0 < \sigma^2 < \infty$ の同じ母集団から独立に抽出した値（独立同分布）とし、その平均を $\bar X$ とします。リンデベルグ＝レヴィ型の中心極限定理は、標準化した平均が標準正規分布に分布収束することを述べます。つまり分布関数が各点で $\Phi$ に近づきます。大まかには $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ です。このページでは、nによる $\bar X$ の分布の形の変化を見ます。

定理

P\!\left(\frac{\sqrt{n}\,(\bar X - \mu)}{\sigma} \le z\right) \to \Phi(z) \quad \text{すべての } z\text{ に対して}

上段は母集団です。下段は $n$ 回抽出した平均 $\bar X$ の分布を示します。これを $N$ 回繰り返すと黄色いヒストグラムになり、抽出による揺らぎを理論曲線と比較できます。同じシードなら同じ標本を再現します。√n倍に拡大した下の軸は $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$ で、平均μと標準偏差σが母集団と同じになり、形を比べやすくなります。

「数値計算」と表示した曲線は数値的に求め、それ以外には厳密な分布の式を使います。歪度は非対称性を測ります。超過尖度は標準化した4次モーメントを正規分布と比較する量で、正規分布では0です。対応する母集団のモーメントが存在すれば、平均の歪度は $\gamma/\sqrt{n}$ 、超過尖度は $\kappa/n$ です。どちらか一つの指標だけで正規近似の良さは保証できません。

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注目する点

定理が述べるのは平均の分布であり、元のデータではありません。上段は変わりません。実際の幅で $\sigma/\sqrt{n}$ に比例して狭くなるのは、別の事実である√nの法則です。
「n ≥ 30なら十分」は目安にすぎません。確率1%の事象では、30回の試行の平均は確率 $0.99^{30} \approx 0.740$ でちょうど0です。歪度 $\gamma/\sqrt{n}$ が0.2に下がるのはn = 2426になってからです。歪度0でも十分ではありません。対称な版（±10がそれぞれ確率0.5%）はすべてのnで歪度0ですが、0に大きな確率質量が残ります。
格子分布の棒の幅は格子の1刻みで、その面積が確率を表します。高さを点ごとに比べず、形を比較してください。コーシー分布には平均も分散もありません。n回抽出した平均が1回の抽出と全く同じ分布になるため、この定理は適用できません。
正規分布への極限はド・モアブル（1733年、二項分布）とラプラス（1812年）にさかのぼります。名称はポーヤ（1920年）によるものです。

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操作方法

描くを選ぶと上段に描けるようになり、手を離すと面積が1になるよう調整されます。赤いキーはあらかじめ計算した10,000個の平均を再生します。途中で押すと停止し、もう一度押すと同じシードで続行、最後まで終わると次のシードで始めます。共有にはシード、アルゴリズムのバージョン、再生位置が保存されます。

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この可視化での中心極限定理

注目する点

操作方法

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