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Wahrscheinlichkeit & Statistik · Zentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz

Bilde den Mittelwert aus n unabhängigen Ziehungen aus einer Grundgesamtheit mit endlicher, positiver Varianz. Um den Mittelwert um den Faktor n\sqrt{n} vergrößert nähert sich seine Verteilung mit wachsendem n einer Normalverteilung, unabhängig von der Form der Grundgesamtheit.

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Der zentrale Grenzwertsatz in dieser Visualisierung

Seien X1,…,XnX_1, \dots, X_n unabhängige Ziehungen aus derselben Grundgesamtheit (unabhängig und identisch verteilt) mit Mittelwert μ\mu und Varianz 0<σ2<∞0 < \sigma^2 < \infty, und Xˉ\bar X ihr Mittelwert. Der zentrale Grenzwertsatz in der Form von Lindeberg–Lévy besagt, dass der standardisierte Mittelwert in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergiert: Seine Verteilungsfunktion strebt an jeder Stelle gegen Φ\Phi. Anschaulich gilt Xˉ≈N(μ,σ2/n)\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n). Die Seite zeigt, wie sich die Form der Verteilung von Xˉ\bar X mit n ändert.

Der Satz
P ⁣(n (Xˉ−μ)σ≤z)→Φ(z)fu¨r jedes zP\!\left(\frac{\sqrt{n}\,(\bar X - \mu)}{\sigma} \le z\right) \to \Phi(z) \quad \text{für jedes } z

Oben liegt die Grundgesamtheit. Unten erscheint die Verteilung des Mittelwerts Xˉ\bar X aus nn Ziehungen. NN Wiederholungen ergeben das gelbe Histogramm: Es schwankt durch die Stichprobenziehung und lässt sich mit der theoretischen Kurve vergleichen. Ein fester Startwert erzeugt dieselben Stichproben. Bei √n-facher Vergrößerung ist die untere Achse Y=μ+n (xˉ−μ)Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu); Mittelwert μ und Standardabweichung σ stimmen mit der Grundgesamtheit überein, sodass die Formen leichter vergleichbar sind.

Mit „numerisch“ markierte Kurven werden numerisch berechnet; die übrigen verwenden exakte Verteilungsformeln. Schiefe misst Asymmetrie. Der Exzess vergleicht das standardisierte vierte Moment mit dem der Normalverteilung, bei der er null ist. Existieren die entsprechenden Momente der Grundgesamtheit, hat der Mittelwert Schiefe γ/n\gamma/\sqrt{n} und Exzess κ/n\kappa/n. Keines der beiden Maße allein garantiert eine gute Normalapproximation.

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Worauf du achten kannst

  • Der Satz betrifft die Verteilung des Mittelwerts, nicht die Daten selbst: Die obere Ebene ändert sich nie. Die Verengung wie σ/n\sigma/\sqrt{n} bei tatsächlicher Breite ist das √n-Gesetz, eine eigenständige Aussage.
  • „n ≥ 30 genügt“ ist eine Faustregel. Bei 1 % Ereigniswahrscheinlichkeit ist der Mittelwert aus 30 Versuchen noch mit Wahrscheinlichkeit 0.9930≈0.7400.99^{30} \approx 0.740 exakt 0. Seine Schiefe γ/n\gamma/\sqrt{n} sinkt erst bei n = 2426 auf 0.2. Auch Schiefe 0 genügt nicht: Die symmetrische Variante (±10, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5 %) hat für jedes n Schiefe 0 und trotzdem eine große Punktmasse bei 0.
  • Die Balken einer Gitterverteilung sind einen Gitterschritt breit, ihre Fläche ist also eine Wahrscheinlichkeit. Vergleiche die Formen, nicht die Höhen Punkt für Punkt. Die Cauchy-Verteilung hat weder Mittelwert noch Varianz: Der Mittelwert aus n Ziehungen hat exakt dieselbe Verteilung wie eine Ziehung; der Satz gilt hier nicht.
  • Der normale Grenzwert geht auf de Moivre (1733, für die Binomialverteilung) und Laplace (1812) zurück; die Bezeichnung stammt von Pólya (1920).
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Bedienung

  • Zeichnen macht die obere Ebene zur Zeichenfläche: Beim Loslassen wird die Zeichnung auf Fläche 1 skaliert. Die rote Taste spielt 10 000 vorberechnete Mittelwerte ab; ein Druck währenddessen stoppt, ein weiterer setzt mit demselben Startwert fort, nach dem Ende beginnt der nächste Startwert. Teilen speichert Startwert, Algorithmusversion und Abspielfortschritt.
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Weiterführende Literatur: Wikipedia: Central limit theorem (Englisch); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 7 The Central Limit Theorem (Englisch).