Gesetz der großen Zahlen: Interaktive Visualisierung

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Das Gesetz der großen Zahlen in dieser Visualisierung

Seien $X_1, X_2, \dots$ unabhängige Ziehungen aus derselben Verteilung mit endlichem Erwartungswert $\mu = E[X]$ ( $E|X| < \infty$ genügt), und sei $\bar X_n$ der Mittelwert der ersten n. Das Gesetz der großen Zahlen besagt $\bar X_n \to \mu$ : in Wahrscheinlichkeit (schwaches Gesetz) und mit Wahrscheinlichkeit eins (starkes Gesetz). Bei einer Münze ist $X_i$ bei Kopf gleich 1; somit ist $\bar X_n = \hat p_n = H_n/n$ der Kopfanteil und $\mu = p$ . Die Seite verfolgt einen oder mehrere Verläufe mit 100 000 Würfen und fragt, warum sich der Anteil stabilisiert.

Eine Abweichung, zwei Skalen

H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

Die obere Ebene zeigt $\hat p_n$ , die untere den Überschuss der Kopfzahl über ihren Erwartungswert, $H_n - np$ ; bei einer fairen Münze ist das die Hälfte von „Kopf minus Zahl“. Dieselbe Abweichung schrumpft oben und wächst unten. Das gestrichelte Band bei jedem n ist der exakte 95-%-Bereich der Binomialverteilung: das engste ganzzahlige Intervall $[a_n, b_n]$ , unter dem höchstens 2.5 % von $H_n$ liegen und über dem höchstens 2.5 % liegen. Es umfasst also mindestens 95 % (die Anzeige nennt die exakte Abdeckung). Als Anteil lautet es $[a_n/n,\ b_n/n]$ , als Anzahl $[a_n - np,\ b_n - np]$ : dasselbe Ereignis. Beim Start mit zehnmal Kopf teilt eine gekoppelte Münze, die mit fünfmal Kopf begann, jeden späteren Wurf. Die beiden unterscheiden sich stets um genau 5 Köpfe, ihre Anteile daher um genau $5/n$ . Der Vorsprung wird verdünnt, nicht ausgeglichen.

02

Was auffällt

Das Band gilt punktweise: Bei jedem festen n liegen mindestens 95 % der Verläufe darin, aber ein Verlauf, der bei jedem n darin bleibt, ist wesentlich seltener. Dass ein Verlauf das Band gelegentlich verlässt, entspricht dem Gesetz und widerlegt es nicht.
Nichts gleicht einen frühen Vorsprung aus. Nach einer Kopfserie ist der nächste Wurf weiterhin mit Wahrscheinlichkeit p Kopf (der Spielerfehlschluss behauptet das Gegenteil; das Fenster „Zählung nach Serien“ zählt nach). Der Anteil stabilisiert sich, weil derselbe Überschuss durch ein immer größeres n geteilt wird.
Das Band wird wie $1/\sqrt{n}$ schmaler: Bei denselben 95 % erfordert eine weitere korrekte Nachkommastelle ungefähr hundertmal so viele Würfe. Das Gesetz braucht einen endlichen Erwartungswert: Bei der Cauchy-Verteilung ist der Mittelwert aus n Ziehungen nicht stabiler als eine einzelne Ziehung (siehe die Seite zum zentralen Grenzwertsatz).
Jakob Bernoulli bewies den Fall münzähnlicher Versuche in Ars Conjectandi (1713); der Name „Gesetz der großen Zahlen“ stammt von Poisson (1837).

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Bedienung

Die rote Taste spielt mit festem Startwert vorab berechnete Würfe ab. Während des Ablaufs hält sie an, erneutes Drücken setzt fort, und am Ende wird mit dem nächsten Startwert neu geworfen. Klicke oder ziehe irgendwo im Bild, um den Zeiger zu bewegen; die Anzeigen verwenden nur die Würfe links davon. Teilen speichert den Startwert, die Algorithmusversion und den Zeiger.

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Das Gesetz der großen Zahlen in dieser Visualisierung

Was auffällt

Bedienung

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