Math

الاحتمالات والإحصاء · قانون الأعداد الكبيرة

قانون الأعداد الكبيرة

في تكرارات مستقلة للتجربة نفسها، تتقارب نسبة النجاحات إلى احتمالها على المدى الطويل، مع استمرار التذبذب في الطريق. يتضاءل أثر التقدّم المبكر، ولا يُعوَّض.

01

قانون الأعداد الكبيرة في هذا التصوّر

لتكن X1,X2,…X_1, X_2, \dots سحوبات مستقلة من توزيع واحد ذي متوسط منتهٍ μ=E[X]\mu = E[X] (يكفي أن E∣X∣<∞E|X| < \infty)، ولتكن Xˉn\bar X_n متوسط أول n منها. ينص قانون الأعداد الكبيرة على أن Xˉn→μ\bar X_n \to \mu: تقاربًا في الاحتمال (القانون الضعيف)، وباحتمال واحد (القانون القوي). للعملة تكون XiX_i مساوية لـ 1 عند ظهور الوجه، فتكون Xˉn=p^n=Hn/n\bar X_n = \hat p_n = H_n/n نسبة الأوجه وμ=p\mu = p. تتتبّع الصفحة مسارًا أو أكثر من 100 000 رمية، وتسأل عمّا يجعل النسبة تستقر.

انحراف واحد بمقياسين
Hn−np=n (p^n−p),SD(p^n)=p(1−p)n,SD(Hn−np)=np(1−p)H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

تعرض الطبقة العليا p^n\hat p_n، والسفلى فائض الأوجه عن العدد المتوقع، Hn−npH_n - np؛ ولعملة عادلة يساوي نصف «الأوجه ناقص الظهور». الانحراف نفسه يصغر في الأعلى ويكبر في الأسفل. النطاق المتقطع عند كل n هو نطاق 95% الدقيق للتوزيع ذي الحدين: أضيق فترة ذات طرفين صحيحين [an,bn][a_n, b_n] لا يقع تحتها أكثر من 2.5% من HnH_n ولا فوقها أكثر من 2.5%، فتحتوي على الأقل 95% (تعطي القراءة التغطية الدقيقة). كنسبة هو [an/n, bn/n][a_n/n,\ b_n/n]، وكعدد [an−np, bn−np][a_n - np,\ b_n - np]: الحدث نفسه. مع بداية من عشرة أوجه، تشترك عملة مقترنة بدأت بخمسة في كل رمية لاحقة: يختلف العددان دائمًا بخمسة أوجه بالضبط، فتختلف النسبتان بمقدار 5/n5/n بالضبط. يتضاءل أثر التقدّم، ولا يُعوَّض.

02

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

  • النطاق نقطي: عند كل n ثابتة تقع فيه المسارات باحتمال لا يقل عن 95%، لكن المسار الذي يبقى داخله عند كل n أندر بكثير. خروج المسار من النطاق بين حين وآخر مما يتنبأ به القانون، وليس إخفاقًا له.
  • لا شيء يعوّض تقدّمًا مبكرًا. بعد تتابع من الأوجه، يبقى احتمال الوجه في الرمية التالية p (تزعم مغالطة المقامر غير ذلك؛ وتحسبه نافذة «إحصاء ما بعد التتابع»). تستقر النسبة لأن الفائض نفسه يُقسم على n تكبر باستمرار.
  • يضيق النطاق على نمط 1/n1/\sqrt{n}: عند 95% نفسها، تحتاج خانة عشرية صحيحة إضافية إلى نحو مئة ضعف عدد الرميات. يتطلب القانون متوسطًا منتهيًا: في توزيع كوشي لا يكون متوسط n سحوبات أكثر استقرارًا من سحبة واحدة (انظر صفحة مبرهنة النهاية المركزية).
  • أثبت ياكوب برنولي حالة التجارب الشبيهة برمي العملة في فن التخمين (1713)؛ أما اسم «قانون الأعداد الكبيرة» فمن بواسون (1837).
03

أدوات التحكم

  • يعيد المفتاح الأحمر عرض رميات حُسبت مسبقًا ببذرة ثابتة؛ يوقفها الضغط أثناء التشغيل، ويستأنفها الضغط مرة أخرى، وعند النهاية يُجري الرميات بالبذرة التالية. اضغط أو اسحب في أي موضع من الصورة لتحريك المؤشر؛ تستخدم القراءات فقط الرميات الواقعة يساره. يحفظ مشاركة البذرة وإصدار الخوارزمية والمؤشر.
04

موضوعات ذات صلة

  • H16التوزيع ذو الحدينقيد الإعداد
  • H19مبرهنة النهاية المركزية
  • H18توزيع المعاينةقيد الإعداد
  • H20فترة الثقةقيد الإعداد
  • H05التوزيع الطبيعيقيد الإعداد

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Law of large numbers (الإنجليزية); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Jacob Bernoulli (الإنجليزية).