مبرهنة النهاية المركزية: تصوّر تفاعلي

01

مبرهنة النهاية المركزية في هذا التصوّر

لتكن $X_1, \dots, X_n$ سحوبات مستقلة من مجتمع واحد (مستقلة ومتطابقة التوزيع) بمتوسط $\mu$ وتباين $0 < \sigma^2 < \infty$ ، ولتكن $\bar X$ متوسطها. تنص مبرهنة النهاية المركزية بصيغة ليندبرغ–ليفي على أن المتوسط الموحّد معياريًا يتقارب في التوزيع إلى الطبيعي المعياري: تقترب دالة توزيعه من $\Phi$ عند كل نقطة. وبصورة تقريبية، $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ . تُظهر الصفحة كيف يتغيّر شكل توزيع $\bar X$ مع n.

المبرهنة

P\!\left(\frac{\sqrt{n}\,(\bar X - \mu)}{\sigma} \le z\right) \to \Phi(z) \quad \text{لكل } z

الطبقة العليا هي المجتمع. وتعرض السفلى توزيع المتوسط $\bar X$ لـ $n$ سحوبات. تكرار ذلك $N$ مرة يعطي المدرّج الأصفر: يتذبذب بفعل أخذ العيّنات ويمكن مقارنته بالمنحنى النظري. تعيد البذرة الثابتة إنتاج العيّنات نفسها. بعد التكبير بمقدار √n يصبح المحور السفلي $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$ : يتطابق متوسطه μ وانحرافه المعياري σ مع المجتمع، فتسهل مقارنة الأشكال.

تُحسب المنحنيات الموسومة «عددي» عدديًا، وتستخدم الأخرى صيغ توزيعات دقيقة. يقيس الالتواء عدم التناظر. ويقارن التفرطح الزائد العزم الرابع المعياري بنظيره في التوزيع الطبيعي، حيث يساوي صفرًا. عندما توجد عزوم المجتمع المعنية، يكون التواء المتوسط $\gamma/\sqrt{n}$ وتفرطحه الزائد $\kappa/n$ . ولا يضمن أي منهما وحده تقريبًا طبيعيًا جيدًا.

02

ما الذي تلاحظه؟

تتعلّق المبرهنة بتوزيع المتوسط، لا بالبيانات نفسها: فالطبقة العليا لا تتغيّر. أما تضاؤل العرض الفعلي بمقدار $\sigma/\sqrt{n}$ فهو قانون √n، وهو حقيقة مستقلة.
«n ≥ 30 يكفي» قاعدة تقريبية. لحدث احتماله 1%، يظل متوسط 30 تجربة صفرًا تمامًا باحتمال $0.99^{30} \approx 0.740$ ، ولا ينخفض التواؤه $\gamma/\sqrt{n}$ إلى 0.2 إلا عند n = 2426. وحتى الالتواء الصفري لا يكفي: النسخة المتناظرة (±10، باحتمال 0.5% لكل منهما) لها التواء صفري لكل n، ومع ذلك تبقى كتلة احتمالية كبيرة عند 0.
عرض أعمدة التوزيع الشبكي خطوة شبكية واحدة، لذا تمثّل مساحتها احتمالًا: قارن الأشكال، لا الارتفاعات نقطة بنقطة. ليس لتوزيع كوشي متوسط ولا تباين: يتبع متوسط n سحوبات توزيع سحبة واحدة تمامًا، ولا تنطبق عليه المبرهنة.
تعود النهاية الطبيعية إلى دي موافر (1733، للتوزيع ذي الحدين) ولابلاس (1812)؛ أما الاسم فمن بوليا (1920).

03

عناصر التحكّم

يحوّل ارسم الطبقة العليا إلى لوحة رسم: يُضبط الرسم إلى مساحة 1 عند رفع المؤشر. يعيد المفتاح الأحمر عرض 10 000 متوسط محسوب مسبقًا؛ الضغط أثناء التشغيل يوقفه، والضغط مجددًا يتابعه بالبذرة نفسها، وعند النهاية يبدأ بالبذرة التالية. يحفظ مشاركة البذرة وإصدار الخوارزمية وموضع إعادة العرض.

04

مفاهيم ذات صلة

H05التوزيع الطبيعيقيد التخطيط
H18توزيع المعاينةقيد التخطيط
H12قانون الأعداد الكبيرة
H16التوزيع ذو الحدينقيد التخطيط
H20فترة الثقةقيد التخطيط
H26دالة الكثافة الاحتماليةقيد التخطيط

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Central limit theorem (الإنجليزية); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 7 The Central Limit Theorem (الإنجليزية).