中心极限定理

设$X_1, \dots, X_n$是从同一总体独立抽取的数（独立同分布），均值为$\mu$，方差$0 < \sigma^2 < \infty$，$\bar X$是它们的平均数。中心极限定理（林德伯格–莱维形式）说：标准化后的平均数依分布收敛于标准正态分布，即它的分布函数在每一点都趋于$\Phi$。粗略地说，$\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$。本页演示$\bar X$的分布的形状怎样随n变化。

上层是总体，下层是每组抽取$n$个数后所得平均数$\bar X$的分布。重复抽样$N$组，得到黄色直方条；它会随抽样波动，用来与理论曲线对照。固定种子可重现同一批样本。放大√n倍后，下层横轴是$Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$：均值μ、标准差σ与总体相同，便于单独比较形状。

标“数值”的分布曲线由数值计算得到，其余按精确分布公式计算。偏度衡量左右不对称；超额峰度比较标准化后的四阶矩与正态分布，正态的超额峰度为0。总体相应矩存在时，平均数的偏度为$\gamma/\sqrt{n}$，超额峰度为$\kappa/n$；这些量不能单独保证分布已接近正态。