Normalverteilung

Eine Zufallsvariable $X$ mit der Normalverteilung $N(\mu, \sigma^2)$ hat eine glockenförmige Dichte: Der Mittelwert $\mu$ liegt am Gipfel, die Standardabweichung $\sigma$ bestimmt die Breite. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ zwischen zwei Werten liegt, ist die Fläche unter der Kurve zwischen ihnen. Hier steht die Kurve über zwei Skalen: $x$ für Werte, $z$ für Standardeinheiten. Du kannst $\mu$ und $\sigma$ verändern, die Grenzen auf $a$ und $b$ setzen und wählen, welche Skala auf dem Bildschirm fest bleibt.

Warum ist jede Normalkurve dieselbe Kurve? Halte die $z$-Skala fest und ändere $\mu$ oder $\sigma$: Die Kurve auf dem Bildschirm bleibt stehen. Stattdessen verschiebt und streckt sich die $x$-Skala darunter, und die Zahlen auf der Dichteachse ändern sich. Die Grenzen sind $x$-Werte und bewegen sich deshalb mit dieser Skala. Die eingefärbte Fläche ändert sich nur, wenn sich ihre Positionen auf der $z$-Skala ändern. Jede Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ auf einer anderen Skala. Daher gilt $P(a \le X \le b) = \Phi(z_b) - \Phi(z_a)$, wobei $\Phi(z)$ die Fläche links von $z$ unter der Standardkurve ist.

Wo findet man $\sigma$ an der Kurve? An den Wendepunkten. Auf der gewöhnlichen Achsenskala ist die Kurve zwischen $\mu - \sigma$ und $\mu + \sigma$ nach unten gekrümmt, außerhalb nach oben. An diesen beiden Wendepunkten kreuzt die Tangente die Kurve. Da die Form gleich bleibt, hängt die Fläche innerhalb von $k$ Standardabweichungen um den Mittelwert weder von $\mu$ noch von $\sigma$ ab: etwa 68.27% innerhalb einer, 95.45% innerhalb zweier und 99.73% innerhalb dreier Standardabweichungen.

Warum ist eine schmalere Kurve höher? Die gesamte Fläche ist immer 1. „Aufbau zeigen“ macht die zwei Schritte ausgehend von der Standardkurve sichtbar: Nach Verschiebung nach $\mu$ und horizontaler Streckung um den Faktor $\sigma$ beträgt die Fläche unter der Kurve $\sigma$. Teilt man die Höhe durch $\sigma$, ist sie wieder 1. Der Gipfel liegt also bei $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$, und eine Halbierung von $\sigma$ verdoppelt ihn. Die Höhe ist eine Dichte, also Wahrscheinlichkeit pro Einheit von $x$. Nur Flächen sind Wahrscheinlichkeiten.

Wie dünn sind die Ausläufer? Auf der gewöhnlichen Skala scheint die Kurve bei etwa $3\sigma$ die Achse zu erreichen, doch sie wird nie null. Auf der logarithmischen Skala ist $\log f$ eine quadratische Funktion von $x$. Die Kurve wird deshalb zu einer nach unten geöffneten Parabel, deren Ausläufer immer steiler abfallen. Beide Seiten zusammen enthalten jenseits von $3\sigma$ etwa 0.270% der Wahrscheinlichkeit, jenseits von $4\sigma$ etwa 1 zu 15 800 und jenseits von $6\sigma$ etwa 1 zu 507 Millionen. Auf einer Log-Skala entspricht die Fläche unter der Kurve nicht mehr der Wahrscheinlichkeit; deshalb ist der Bereich nur auf der $x$-Skala markiert.