Konfidenzintervall

Ein Konfidenzintervall schätzt eine unbekannte Zahl, hier den Mittelwert $\mu$ der Grundgesamtheit, durch einen aus einer Stichprobe berechneten Bereich. Die Regel, die eine Stichprobe in ein Intervall umwandelt, wird vorab festgelegt. Ihr Konfidenzniveau, etwa 95%, ist der Anteil der Stichproben, deren Intervall den wahren Wert enthält. Hier besteht jede Stichprobe aus $n$ unabhängigen Ziehungen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit $\mu = 50$ und $\sigma = 10$. Jede Zeile des Stapels ist das Intervall einer Stichprobe; die blaue Linie zeigt $\mu$.

Warum kann ein einzelnes Intervall nicht beanspruchen, $\mu$ mit 95% Wahrscheinlichkeit zu enthalten? Hier ist $\mu$ eine feste Zahl; von Stichprobe zu Stichprobe ändert sich das Intervall. Vor dem Ziehen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sein Intervall $\mu$ enthält, 95%. Danach enthält dieses Intervall entweder 50 oder nicht. Das Band zeigt, warum die Regel bei bekanntem $\sigma$ funktioniert. Das Intervall $\bar x \pm \mathrm{ME}$ enthält $\mu$ genau dann, wenn $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$, also wenn $\bar x$ im gleich breiten Band $\mu \pm \mathrm{ME}$ liegt. Da $\bar X$ normalverteilt ist mit Standardabweichung $\sigma/\sqrt{n}$, liegt es bei $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$ in 95% der Fälle in diesem Band. Eine Wahrscheinlichkeit für $\mu$ selbst setzt eine A-priori-Verteilung für $\mu$ voraus. Das führt zu einem bayesschen Kredibilitätsintervall, einer anderen Konstruktion.

Was bestimmt die Breite? Ist $\sigma$ bekannt, ist die halbe Breite die Fehlerspanne $z^*\sigma/\sqrt{n}$. Dabei lässt $z^*$ in jedem Randbereich der Standardnormalverteilung die Hälfte der verbleibenden Wahrscheinlichkeit übrig. Jeder Schritt hin zu 100% kostet mehr Breite als der vorherige: $z^*$ beträgt bei 90% etwa 1,645, bei 99% etwa 2,576 und bei 99,9% etwa 3,29. Kein endliches Intervall bietet 100% Sicherheit. Der Standardfehler des Mittelwerts ist $\sigma/\sqrt{n}$ (siehe stichprobenverteilung). Bei festem Niveau schrumpft die Breite daher proportional zu $1/\sqrt{n}$. Die Überdeckungswahrscheinlichkeit ändert sich nicht mit $n$: Die Fehlerspanne wird stets in Einheiten der Streuung von $\bar x$ gemessen.

Warum braucht man bei unbekanntem $\sigma$ den Faktor $t$? Ersetzt man $\sigma$ durch das $s$ der Stichprobe, werden sowohl Mittelpunkt als auch Breite zufällig. Eine Stichprobe mit kleinem $s$ erhält ein kurzes Intervall. Deshalb häufen sich die verfehlenden Intervalle unter den kurzen. Mit $z^*$ beträgt die Überdeckungswahrscheinlichkeit $2F_{n-1}(z^*) - 1$ und liegt unter dem Niveau. Dabei ist $F_{n-1}$ die Verteilungsfunktion der Student-$t$-Verteilung mit $n - 1$ Freiheitsgraden. Dieser Verteilung folgt $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$ bei normalverteilten Daten. Ihre Ränder sind schwerer als die der Normalverteilung. Daher ist ihr Quantil $t^*$ größer als $z^*$, und $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ hat genau die Überdeckungswahrscheinlichkeit des gewählten Niveaus. Nur den Mittelwert von $s$ zu korrigieren reicht nicht: $s/c_4$ schätzt $\sigma$ erwartungstreu, doch mit $z^*$ und nominell 95% beträgt die Überdeckungswahrscheinlichkeit bei $n = 5$ weiterhin nur etwa 89,5%. Mit wachsendem $n$ nähert sich $s$ dem Wert $\sigma$, und $t^*$ nähert sich $z^*$.