Intervallo di confidenza

Un intervallo di confidenza stima un numero ignoto, qui la media della popolazione $\mu$, mediante un intervallo calcolato da un campione. La regola che trasforma un campione in un intervallo è fissata in anticipo, e il suo livello di confidenza, per esempio il 95%, è la quota di campioni il cui intervallo contiene il valore vero. In questa pagina ogni campione consiste di $n$ estrazioni indipendenti da una popolazione normale con $\mu = 50$ e $\sigma = 10$; ogni riga della pila è l’intervallo di un campione, e la linea blu è $\mu$.

Perché non si può dire che un singolo intervallo abbia il 95% di probabilità di contenere $\mu$? Qui $\mu$ è un numero fisso; ciò che cambia da campione a campione è l’intervallo. Prima dell’estrazione, la probabilità che il suo intervallo contenga $\mu$ è del 95%; dopo l’estrazione, quell’intervallo contiene 50 oppure no. La fascia mostra perché la regola funziona quando $\sigma$ è nota. L’intervallo $\bar x \pm \mathrm{ME}$ contiene $\mu$ se e solo se $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$, cioè quando $\bar x$ cade nella fascia $\mu \pm \mathrm{ME}$ della stessa ampiezza. Poiché $\bar X$ è normale con deviazione standard $\sigma/\sqrt{n}$, cade in quella fascia nel 95% dei casi quando $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$. Attribuire una probabilità a $\mu$ richiede una distribuzione a priori per $\mu$: si ottiene così un intervallo di credibilità bayesiano, una costruzione diversa.

Che cosa determina l’ampiezza? Con $\sigma$ nota, la semiampiezza è il margine d’errore $z^*\sigma/\sqrt{n}$, dove $z^*$ lascia metà della probabilità rimanente in ciascuna coda della normale standard. Ogni passo verso il 100% richiede più ampiezza del precedente: $z^*$ vale circa 1,645 al 90%, 2,576 al 99% e 3,29 al 99,9%, e nessun intervallo finito garantisce il 100%. L’errore standard della media è $\sigma/\sqrt{n}$ (vedi distribuzione campionaria), quindi a livello fissato l’ampiezza diminuisce in proporzione a $1/\sqrt{n}$. La copertura non cambia con $n$: il margine si misura sempre in unità della dispersione di $\bar x$.

Perché una $\sigma$ ignota richiede $t$? Sostituire $\sigma$ con la $s$ del campione rende casuali sia il centro sia l’ampiezza. Un campione con $s$ piccola riceve un intervallo corto, quindi gli intervalli che mancano il valore vero si concentrano tra quelli corti. Con $z^*$, la copertura è $2F_{n-1}(z^*) - 1$, inferiore al livello scelto; $F_{n-1}$ è la funzione di ripartizione della $t$ di Student con $n - 1$ gradi di libertà. Questa è la distribuzione di $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$ per dati normali. Le sue code sono più pesanti di quelle della normale, quindi il suo quantile $t^*$ supera $z^*$, e $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ copre esattamente al livello scelto. Correggere solo la media di $s$ non basta: $s/c_4$ stima $\sigma$ senza distorsione, ma, usato con $z^*$ al 95% nominale, copre ancora soltanto l’89,5% circa dei casi per $n = 5$. Al crescere di $n$, $s$ si stabilizza vicino a $\sigma$ e $t^*$ si avvicina a $z^*$.