فترة الثقة

تقدّر فترة الثقة عددًا مجهولًا، هو هنا متوسط المجتمع ⁦$\mu$⁩، بنطاق يُحسب من عينة واحدة. تُحدَّد قاعدة تحويل العينة إلى فترة مسبقًا، ومستوى ثقتها، مثل ⁦95%⁩، هو نسبة العينات التي تحتوي فتراتها القيمة الحقيقية. تتكون كل عينة في هذه الصفحة من ⁦$n$⁩ سحوبات مستقلة من مجتمع طبيعي التوزيع، حيث ⁦$\mu = 50$⁩ و⁦$\sigma = 10$⁩؛ كل صف في الرصة هو فترة عينة واحدة، والخط الأزرق هو ⁦$\mu$⁩.

لماذا لا يمكن القول إن لفترة واحدة احتمالًا قدره ⁦95%⁩ لاحتواء ⁦$\mu$⁩؟ هنا ⁦$\mu$⁩ عدد ثابت، وما يتغير من عينة إلى أخرى هو الفترة. قبل سحب العينة، احتمال أن تحتوي فترتها ⁦$\mu$⁩ هو ⁦95%⁩؛ وبعد سحبها، إما أن تحتوي هذه الفترة ⁦50⁩ أو لا تحتويه. يوضح الشريط سبب نجاح القاعدة عندما تكون ⁦$\sigma$⁩ معلومة. تحتوي الفترة ⁦$\bar x \pm \mathrm{ME}$⁩ القيمة ⁦$\mu$⁩ إذا وفقط إذا ⁦$|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$⁩، أي عندما يقع ⁦$\bar x$⁩ في الشريط ⁦$\mu \pm \mathrm{ME}$⁩ ذي العرض نفسه. ولأن ⁦$\bar X$⁩ يتبع توزيعًا طبيعيًا بانحراف معياري ⁦$\sigma/\sqrt{n}$⁩، فهو يقع في هذا الشريط في ⁦95%⁩ من الحالات عندما ⁦$\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$⁩. إسناد احتمال إلى ⁦$\mu$⁩ نفسه يتطلب توزيعًا قبليًا لـ⁦$\mu$⁩؛ وهذا يقود إلى فترة مصداقية بايزية، وهي بناء مختلف.

ما الذي يحدد العرض؟ عندما تكون ⁦$\sigma$⁩ معلومة، يكون نصف العرض هو هامش الخطأ ⁦$z^*\sigma/\sqrt{n}$⁩، حيث يترك ⁦$z^*$⁩ نصف الاحتمال المتبقي في كل ذيل من ذيلي التوزيع الطبيعي المعياري. كل خطوة نحو ⁦100%⁩ تتطلب عرضًا إضافيًا أكبر من السابقة: تبلغ قيمة ⁦$z^*$⁩ نحو ⁦1.645⁩ عند ⁦90%⁩، و⁦2.576⁩ عند ⁦99%⁩، و⁦3.29⁩ عند ⁦99.9%⁩؛ ولا توجد فترة محدودة تضمن ⁦100%⁩. الخطأ المعياري للمتوسط هو ⁦$\sigma/\sqrt{n}$⁩ (انظر توزيع المعاينة)، لذا ينكمش العرض متناسبًا مع ⁦$1/\sqrt{n}$⁩ عند تثبيت المستوى. لا تتغير التغطية مع ⁦$n$⁩: فالهامش يُقاس دائمًا بوحدات تشتت ⁦$\bar x$⁩.

لماذا نحتاج ⁦$t$⁩ عندما تكون ⁦$\sigma$⁩ مجهولة؟ إن وضع ⁦$s$⁩ من العينة محل ⁦$\sigma$⁩ يجعل المركز والعرض كليهما عشوائيين. العينة التي تكون فيها ⁦$s$⁩ صغيرة تحصل على فترة قصيرة، لذا تتركز الفترات التي تخطئ القيمة الحقيقية بين الفترات القصيرة. ومع ⁦$z^*$⁩ تصبح التغطية ⁦$2F_{n-1}(z^*) - 1$⁩، وهي أقل من المستوى المحدد؛ حيث ⁦$F_{n-1}$⁩ دالة التوزيع التراكمي لتوزيع ستيودنت ⁦$t$⁩ بدرجات حرية عددها ⁦$n - 1$⁩. هذا هو توزيع ⁦$(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$⁩ للبيانات الطبيعية. ذيلاه أثقل من ذيلي الطبيعي، لذا تكون القيمة الكمية ⁦$t^*$⁩ أكبر من ⁦$z^*$⁩، وتحقق ⁦$\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$⁩ تغطية تساوي المستوى المحدد تمامًا. تصحيح متوسط ⁦$s$⁩ وحده لا يكفي: يقدّر ⁦$s/c_4$⁩ القيمة ⁦$\sigma$⁩ بلا تحيز، لكنه عند استخدامه مع ⁦$z^*$⁩ بمستوى اسمي ⁦95%⁩ لا يزال يحقق تغطية بنحو ⁦89.5%⁩ فقط عند ⁦$n = 5$⁩. ومع ازدياد ⁦$n$⁩، يستقر ⁦$s$⁩ قرب ⁦$\sigma$⁩ ويقترب ⁦$t^*$⁩ من ⁦$z^*$⁩.