Güven aralığı

Güven aralığı, bilinmeyen bir sayıyı, burada anakütle ortalaması $\mu$ değerini, bir örneklemden hesaplanan bir aralıkla tahmin eder. Örneklemi aralığa dönüştüren kural önceden sabitlenir. %95 gibi bir güven düzeyi, aralığı gerçek değeri kapsayan örneklemlerin oranıdır. Bu sayfada her örneklem, $\mu = 50$ ve $\sigma = 10$ olan normal bir anakütleden $n$ bağımsız çekilişle oluşur. Yığındaki her satır bir örneklemin aralığıdır; mavi çizgi $\mu$ değerini gösterir.

Neden tek bir aralığın $\mu$ değerini içerme olasılığı %95 denemez? Burada $\mu$ sabit bir sayıdır; örneklemden örnekleme değişen aralıktır. Örneklem çekilmeden önce, aralığının $\mu$ değerini kapsama olasılığı %95’tir. Çekildikten sonra o aralık 50’yi ya içerir ya da içermez. Bant, $\sigma$ biliniyorken kuralın neden işlediğini gösterir. $\bar x \pm \mathrm{ME}$ aralığı, ancak ve ancak $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$ olduğunda $\mu$ değerini kapsar; başka bir deyişle $\bar x$, aynı genişlikteki $\mu \pm \mathrm{ME}$ bandına düşmelidir. $\bar X$, standart sapması $\sigma/\sqrt{n}$ olan normal dağılıma uyduğu için $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$ olduğunda bu banda %95 olasılıkla düşer. $\mu$ değerinin kendisine olasılık atamak, $\mu$ için bir önsel dağılım gerektirir. Bu, farklı bir yapıya sahip Bayesçi inanılırlık aralığıdır.

Genişliği ne belirler? $\sigma$ biliniyorsa yarı genişlik, hata payı $z^*\sigma/\sqrt{n}$ olur. Burada $z^*$, standart normalin her kuyruğunda kalan olasılığın yarısını bırakır. %100’e doğru her adım, bir öncekinden daha fazla genişlik gerektirir: $z^*$, %90’da yaklaşık 1,645, %99’da 2,576, %99,9’da 3,29’dur; hiçbir sonlu aralık %100 garanti vermez. Ortalamanın standart hatası $\sigma/\sqrt{n}$ olduğundan (bkz. örnekleme dağılımı), düzey sabitken genişlik $1/\sqrt{n}$ ile orantılı olarak küçülür. Kapsama olasılığı $n$ ile değişmez: hata payı her zaman $\bar x$ değerinin yayılımı cinsinden ölçülür.

$\sigma$ bilinmiyorsa neden $t$ gerekir? $\sigma$ yerine örneklemin $s$ değerini koymak hem merkezi hem genişliği rastgele yapar. $s$ değeri küçük çıkan örneklemin aralığı kısadır; dolayısıyla gerçek değeri kaçıranlar kısa aralıklarda yoğunlaşır. $z^*$ kullanıldığında kapsama olasılığı $2F_{n-1}(z^*) - 1$ olur ve seçilen düzeyin altında kalır. Burada $F_{n-1}$, serbestlik derecesi $n - 1$ olan Student $t$ dağılımının dağılım fonksiyonudur. Normal verilerde $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$ bu dağılıma uyar. Kuyrukları normal dağılımınkinden daha ağırdır; bu yüzden $t^*$ kantili $z^*$ değerinden büyüktür ve $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ tam olarak seçilen düzeyde kapsama sağlar. Yalnızca $s$ ortalamasını düzeltmek yetmez: $s/c_4$, $\sigma$ için yansız bir tahmindir, ancak $z^*$ ile nominal %95 düzeyinde kullanıldığında $n = 5$ için kapsama hâlâ yalnızca yaklaşık %89,5’tir. $n$ büyüdükçe $s$, $\sigma$ yakınında kararlı hâle gelir ve $t^*$, $z^*$ değerine yaklaşır.