Merkezi Limit Teoremi: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede merkezi limit teoremi

$X_1, \dots, X_n$ , ortalaması $\mu$ , varyansı $0 < \sigma^2 < \infty$ olan aynı anakütleden bağımsız çekimler (bağımsız ve aynı dağılımlı) ve $\bar X$ bunların ortalaması olsun. Lindeberg–Lévy biçimindeki merkezi limit teoremi, standartlaştırılmış ortalamanın dağılımca standart normale yakınsadığını söyler: dağılım fonksiyonu her noktada $\Phi$ değerine yaklaşır. Kabaca $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ . Sayfa, $\bar X$ dağılımının şeklinin n ile nasıl değiştiğini gösterir.

Teorem

P\!\left(\frac{\sqrt{n}\,(\bar X - \mu)}{\sigma} \le z\right) \to \Phi(z) \quad \text{her } z\text{ için}

Üst katman anakütledir. Alt katman $n$ çekimin $\bar X$ ortalamasının dağılımını gösterir. Bunu $N$ kez tekrarlamak sarı histogramı verir: örneklemeye bağlı olarak dalgalanır ve kuramsal eğriyle karşılaştırılabilir. Sabit tohum aynı örneklemleri yeniden üretir. √n kat büyütülmüş alt eksen $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$ olur: μ ortalaması ve σ standart sapması anakütleyle aynı olduğundan şekilleri karşılaştırmak kolaylaşır.

“Sayısal” işaretli eğriler sayısal olarak hesaplanır; diğerleri tam dağılım formüllerini kullanır. Çarpıklık asimetriyi ölçer. Aşırı basıklık, standartlaştırılmış dördüncü momenti normal dağılımınkiyle karşılaştırır; normal dağılım için sıfırdır. İlgili anakütle momentleri varsa ortalamanın çarpıklığı $\gamma/\sqrt{n}$ , aşırı basıklığı $\kappa/n$ olur. Bu ölçülerden hiçbiri tek başına iyi bir normal yaklaşımı garanti etmez.

02

Dikkat edilecekler

Teorem verilerin değil, ortalamanın dağılımıyla ilgilidir: üst katman asla değişmez. Gerçek genişlikte $\sigma/\sqrt{n}$ gibi daralması ayrı bir olgu olan √n yasasıdır.
“n ≥ 30 yeterlidir” yaklaşık bir kuraldır. Olasılığı %1 olan bir olayda 30 denemenin ortalaması hâlâ $0.99^{30} \approx 0.740$ olasılıkla tam 0'dır; $\gamma/\sqrt{n}$ çarpıklığı ancak n = 2426 iken 0.2'ye düşer. Çarpıklığın 0 olması da yetmez: simetrik sürümde (her biri %0.5 olasılıkla ±10), her n için çarpıklık 0 olur ve 0 noktasında yine büyük bir olasılık kütlesi bulunur.
Kafes dağılımının sütunları bir kafes adımı genişliğindedir; bu yüzden alanları olasılıktır. Nokta nokta yükseklikleri değil, şekilleri karşılaştırın. Cauchy dağılımının ortalaması ve varyansı yoktur: n çekimin ortalaması, tek çekimle tam aynı dağılıma sahiptir ve teorem uygulanmaz.
Normal limit de Moivre'a (1733, binom için) ve Laplace'a (1812) uzanır; adını Pólya vermiştir (1920).

03

Kontroller

Çiz, üst katmanı çizim alanına dönüştürür: bıraktığınızda çizdiğiniz eğri, alanı 1 olacak şekilde ölçeklenir. Kırmızı tuş önceden hesaplanan 10 000 ortalamayı oynatır; çalışırken basınca durur, yeniden basınca aynı tohumla sürer, sona gelince bir sonraki tohumla başlar. Paylaş, tohumu, algoritma sürümünü ve oynatmanın ne kadar ilerlediğini kaydeder.

04

İlgili konular

H05Normal dağılımPlanlanan
H18Örnekleme dağılımıPlanlanan
H12Büyük sayılar yasası
H16Binom dağılımıPlanlanan
H20Güven aralığıPlanlanan
H26Olasılık yoğunluk fonksiyonuPlanlanan

Ek okumalar: Vikipedi: Central limit theorem (İngilizce); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 7 The Central Limit Theorem (İngilizce).