Büyük Sayılar Yasası: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede büyük sayılar yasası

$X_1, X_2, \dots$ , sonlu $\mu = E[X]$ ortalamalı aynı dağılımdan bağımsız çekimler ( $E|X| < \infty$ yeterlidir), $\bar X_n$ ise ilk n çekimin ortalaması olsun. Büyük sayılar yasası, $\bar X_n \to \mu$ olduğunu söyler: olasılıkta (zayıf yasa) ve hemen hemen kesin olarak (güçlü yasa). Para için $X_i$ yazıda 1'dir; dolayısıyla $\bar X_n = \hat p_n = H_n/n$ yazı oranıdır ve $\mu = p$ olur. Sayfa 100 000 atışlık bir veya daha çok yolu izler; oranın neden yerleştiğini sorar.

Tek sapma, iki ölçek

H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

Üst katman $\hat p_n$ , alt katman beklenen sayıyı aşan $H_n - np$ yazı sayısını gösterir; adil parada bu, “yazı eksi tura”nın yarısıdır. Aynı sapma üstte küçülür, altta büyür. Her n'deki kesikli bant binom dağılımının tam %95 aralığıdır: $H_n$ dağılımının en fazla %2.5'i altında, en fazla %2.5'i üstünde kalacak en dar tam sayı aralığı $[a_n, b_n]$ . Dolayısıyla en az %95 kapsar (okuma tam kapsamı verir). Oranda $[a_n/n,\ b_n/n]$ , sayıda $[a_n - np,\ b_n - np]$ : aynı olay. On yazılık başlangıçta, beş yazıyla başlayan eşlenik para sonraki tüm atışları paylaşır: aralarında hep tam 5 yazı fark vardır, dolayısıyla oranların farkı tam $5/n$ olur. Üstünlük seyrelir, geri ödenmez.

02

Dikkat edilecekler

Bant noktasaldır: her sabit n için yolların en az %95'i içindedir, ancak her n'de içeride kalan yol çok daha nadirdir. Bir yolun arada banttan çıkması yasanın başarısızlığı değil, öngördüğü şeydir.
Erken üstünlüğü hiçbir şey geri ödemez. Yazı serisinden sonraki atışın yazı olasılığı hâlâ p'dir (kumarbaz yanılgısı tersini söyler; “Seri sonrası sayımlar” penceresi bunu sayar). Aynı fazlalık giderek büyüyen n'ye bölündüğü için oran yerleşir.
Bant $1/\sqrt{n}$ gibi daralır: aynı %95 düzeyinde bir doğru ondalık basamak daha, yaklaşık yüz kat atış gerektirir. Yasa sonlu ortalama gerektirir: Cauchy dağılımında n çekimin ortalaması tek çekimden daha kararlı değildir (merkezi limit teoremi sayfasına bakın).
Jacob Bernoulli, para benzeri denemeler durumunu Ars Conjectandi eserinde kanıtladı (1713); “büyük sayılar yasası” adı Poisson'a aittir (1837).

03

Kontroller

Kırmızı tuş sabit tohumla önceden hesaplanan atışları oynatır; çalışırken basınca durur, tekrar basınca sürer, sonunda sonraki tohumla atar. İmleci taşımak için görselin herhangi bir yerine basın veya sürükleyin; okumalar yalnızca solundaki atışları kullanır. Paylaş tohumu, algoritma sürümünü ve imleci saklar.

04

İlgili konular

H16Binom dağılımıPlanlanan
H19Merkezi limit teoremi
H18Örnekleme dağılımıPlanlanan
H20Güven aralığıPlanlanan
H05Normal dağılımPlanlanan

Ek okumalar: Vikipedi: Law of large numbers (İngilizce); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Jacob Bernoulli (İngilizce).