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Probabilidad y estadística · Ley de los grandes números

Ley de los grandes números

En repeticiones independientes del mismo ensayo, la proporción de éxitos converge a su probabilidad a largo plazo, aunque siga fluctuando por el camino. Una ventaja inicial se diluye, no se compensa.

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La ley de los grandes números en esta visualización

Sean X1,X2,…X_1, X_2, \dots extracciones independientes de una misma distribución con media finita μ=E[X]\mu = E[X] (basta que E∣X∣<∞E|X| < \infty), y sea Xˉn\bar X_n la media de las primeras n. La ley de los grandes números afirma que Xˉn→μ\bar X_n \to \mu: en probabilidad (ley débil) y con probabilidad uno (ley fuerte). Para una moneda, XiX_i vale 1 si sale cara, así que Xˉn=p^n=Hn/n\bar X_n = \hat p_n = H_n/n es la proporción de caras y μ=p\mu = p. La página sigue una o más trayectorias de 100 000 lanzamientos y plantea qué hace que la proporción se estabilice.

Una desviación, dos escalas
Hn−np=n (p^n−p),SD(p^n)=p(1−p)n,SD(Hn−np)=np(1−p)H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

La capa superior muestra p^n\hat p_n; la inferior, el exceso de caras sobre el recuento esperado, Hn−npH_n - np; para una moneda equilibrada es la mitad de «caras menos cruces». La misma desviación se reduce arriba y crece abajo. La banda discontinua en cada n es el rango exacto del 95% de la distribución binomial: el intervalo entero más estrecho [an,bn][a_n, b_n] con como máximo un 2.5% de HnH_n por debajo y un 2.5% por encima, de modo que contiene al menos el 95% (la lectura da la cobertura exacta). En proporción es [an/n, bn/n][a_n/n,\ b_n/n]; en recuento, [an−np, bn−np][a_n - np,\ b_n - np]: el mismo suceso. Con una ventaja inicial de diez caras, una moneda acoplada que empezó con cinco comparte todos los lanzamientos posteriores: siempre difieren exactamente en 5 caras, así que sus proporciones difieren exactamente en 5/n5/n. La ventaja se diluye, no se compensa.

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En qué fijarse

  • La banda es puntual: para cada n fijo, al menos el 95% de las trayectorias están dentro, pero es mucho menos frecuente que una trayectoria permanezca dentro para todo n. Que una trayectoria salga de vez en cuando es lo que predice la ley, no un fallo de ella.
  • Nada compensa una ventaja inicial. Después de una racha de caras, el siguiente lanzamiento sigue siendo cara con probabilidad p (la falacia del jugador afirma lo contrario; la ventana «Recuentos tras la racha» lo cuenta). La proporción se estabiliza porque el mismo exceso se divide entre un n cada vez mayor.
  • La banda se estrecha como 1/n1/\sqrt{n}: con el mismo 95%, un decimal correcto más necesita unas cien veces más lanzamientos. La ley requiere una media finita: en la distribución de Cauchy, la media de n extracciones no se estabiliza más que una sola extracción (consulta la página del teorema central del límite).
  • Jacob Bernoulli demostró el caso de ensayos como los de una moneda en Ars Conjectandi (1713); el nombre «ley de los grandes números» es de Poisson (1837).
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Controles

  • La tecla roja reproduce lanzamientos calculados de antemano con una semilla fija; al pulsarla durante la reproducción se detiene, al pulsarla de nuevo continúa y, al terminar, lanza con la siguiente semilla. Pulsa o arrastra en cualquier punto de la imagen para mover el cursor; las lecturas solo usan los lanzamientos a su izquierda. Compartir guarda la semilla, la versión del algoritmo y el cursor.
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Conceptos relacionados

  • H16Distribución binomialPrevisto
  • H19Teorema central del límite
  • H18Distribución muestralPrevisto
  • H20Intervalo de confianzaPrevisto
  • H05Distribución normalPrevisto

Para saber más: Wikipedia: Law of large numbers (Inglés); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Jacob Bernoulli (Inglés).