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Probabilità e statistica · Legge dei grandi numeri

Legge dei grandi numeri

In ripetizioni indipendenti della stessa prova, la proporzione di successi converge alla loro probabilità nel lungo periodo, pur continuando a oscillare. Un vantaggio iniziale si diluisce, non viene compensato.

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La legge dei grandi numeri in questa visualizzazione

Siano X1,X2,…X_1, X_2, \dots estrazioni indipendenti da una distribuzione con media finita μ=E[X]\mu = E[X] (basta che E∣X∣<∞E|X| < \infty) e sia Xˉn\bar X_n la media delle prime n. La legge dei grandi numeri afferma che Xˉn→μ\bar X_n \to \mu: in probabilità (legge debole) e con probabilità uno (legge forte). Per una moneta, XiX_i vale 1 per testa, quindi Xˉn=p^n=Hn/n\bar X_n = \hat p_n = H_n/n è la proporzione di teste e μ=p\mu = p. La pagina segue uno o più percorsi di 100 000 lanci e chiede cosa faccia stabilizzare la proporzione.

Uno scarto, due scale
Hn−np=n (p^n−p),SD(p^n)=p(1−p)n,SD(Hn−np)=np(1−p)H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

Lo strato superiore mostra p^n\hat p_n, quello inferiore l’eccesso di teste rispetto al conteggio atteso, Hn−npH_n - np; per una moneta equilibrata è la metà di «teste meno croci». Lo stesso scarto si restringe sopra e cresce sotto. La fascia tratteggiata per ogni n è l’intervallo esatto al 95% della distribuzione binomiale: il più stretto intervallo intero [an,bn][a_n, b_n] con al massimo il 2.5% di HnH_n sotto e al massimo il 2.5% sopra, quindi contiene almeno il 95% (il valore mostrato dà la copertura esatta). In proporzione è [an/n, bn/n][a_n/n,\ b_n/n], come conteggio [an−np, bn−np][a_n - np,\ b_n - np]: lo stesso evento. Con un vantaggio iniziale di dieci teste, una moneta accoppiata partita con cinque condivide tutti i lanci successivi: le due differiscono sempre esattamente di 5 teste, quindi le loro proporzioni differiscono esattamente di 5/n5/n. Il vantaggio si diluisce, non viene compensato.

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Cosa osservare

  • La fascia è puntuale: a ogni n fissato almeno il 95% dei percorsi è al suo interno, ma un percorso che resta dentro per ogni n è molto più raro. Che un percorso esca dalla fascia di tanto in tanto è previsto dalla legge, non è un suo fallimento.
  • Nulla compensa un vantaggio iniziale. Dopo una serie di teste, il prossimo lancio è ancora testa con probabilità p (la fallacia del giocatore sostiene il contrario; la finestra «Conteggi dopo una serie» lo conta). La proporzione si stabilizza perché lo stesso eccesso viene diviso per un n sempre maggiore.
  • La fascia si restringe come 1/n1/\sqrt{n}: allo stesso 95%, una cifra decimale corretta in più richiede circa cento volte più lanci. La legge richiede una media finita: per la distribuzione di Cauchy la media di n estrazioni non è più stabile di una sola estrazione (vedi la pagina sul teorema del limite centrale).
  • Jacob Bernoulli dimostrò il caso delle prove simili ai lanci di moneta in Ars Conjectandi (1713); il nome «legge dei grandi numeri» è di Poisson (1837).
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Comandi

  • Il tasto rosso riproduce lanci calcolati in anticipo con un seme fisso; premendolo durante l’esecuzione la si ferma, premendolo ancora si prosegue e, alla fine, si eseguono i lanci del seme successivo. Premi o trascina in un punto qualsiasi dell’immagine per spostare il cursore; i valori usano solo i lanci alla sua sinistra. Condividi memorizza il seme, la versione dell’algoritmo e il cursore.
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Concetti collegati

  • H16Distribuzione binomialeIn programma
  • H19Teorema del limite centrale
  • H18Distribuzione campionariaIn programma
  • H20Intervallo di confidenzaIn programma
  • H05Distribuzione normaleIn programma

Per approfondire: Wikipedia: Law of large numbers (Inglese); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Jacob Bernoulli (Inglese).