Закон больших чисел: интерактивная визуализация

01

Закон больших чисел в этой визуализации

Пусть $X_1, X_2, \dots$ — независимые наблюдения из одного распределения с конечным средним $\mu = E[X]$ (достаточно $E|X| < \infty$ ), а $\bar X_n$ — среднее первых n. Закон больших чисел утверждает, что $\bar X_n \to \mu$ : по вероятности (слабый закон) и с вероятностью единица (сильный закон). Для монеты $X_i$ равно 1 при орле, поэтому $\bar X_n = \hat p_n = H_n/n$ — доля орлов, а $\mu = p$ . Страница отслеживает одну или несколько траекторий по 100 000 бросков и показывает, за счёт чего доля стабилизируется.

Одно отклонение, две шкалы

H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

Верхний слой показывает $\hat p_n$ , нижний — избыток орлов над ожидаемым числом, $H_n - np$ ; для честной монеты это половина разности «орлы минус решки». Одно и то же отклонение уменьшается сверху и растёт снизу. Пунктирная полоса при каждом n — точный 95%-й диапазон биномиального распределения: самый узкий целочисленный интервал $[a_n, b_n]$ , ниже которого находится не более 2.5% $H_n$ и выше тоже не более 2.5%, то есть он содержит не менее 95% (индикатор показывает точное покрытие). По доле это $[a_n/n,\ b_n/n]$ , по числу — $[a_n - np,\ b_n - np]$ : одно и то же событие. При старте с десяти орлов связанная монета, начавшая с пяти, повторяет каждый следующий бросок: разность всегда ровно 5 орлов, поэтому доли различаются ровно на $5/n$ . Преимущество размывается, а не возмещается.

02

На что обратить внимание

Полоса поточечная: при каждом фиксированном n в ней находится не менее 95% траекторий, но траектория, остающаяся внутри при всех n, гораздо реже. Периодический выход траектории за полосу согласуется с законом, а не опровергает его.
Начальное преимущество ничем не возмещается. После серии орлов следующий бросок по-прежнему даёт орла с вероятностью p (ошибка игрока утверждает обратное; окно «Счёт после серии» ведёт подсчёт). Доля стабилизируется, поскольку тот же избыток делится на всё большее n.
Полоса сужается как $1/\sqrt{n}$ : при тех же 95% ещё один верный десятичный разряд требует примерно в сто раз больше бросков. Закону нужно конечное среднее: для распределения Коши среднее n наблюдений не стабильнее одного наблюдения (см. страницу центральной предельной теоремы).
Якоб Бернулли доказал случай испытаний типа броска монеты в Ars Conjectandi (1713); название «закон больших чисел» принадлежит Пуассону (1837).

03

Управление

Красная кнопка воспроизводит броски, заранее рассчитанные с фиксированным зерном; нажатие во время работы останавливает, следующее продолжает, а в конце выполняет броски со следующим зерном. Нажмите или перетащите в любом месте изображения, чтобы переместить курсор; показатели учитывают только броски слева от него. Поделиться сохраняет зерно, версию алгоритма и курсор.

04

Связанные темы

H16Биномиальное распределениеПланируется
H19Центральная предельная теорема
H18Выборочное распределениеПланируется
H20Доверительный интервалПланируется
H05Нормальное распределениеПланируется

Дополнительные материалы: Википедия: Law of large numbers (Английский); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (Английский); Архив истории математики MacTutor: Jacob Bernoulli (Английский).