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Probabilidade e estatística · Lei dos grandes números

Lei dos grandes números

Em repetições independentes da mesma experiência, a proporção de sucessos converge para a sua probabilidade a longo prazo, embora continue a oscilar pelo caminho. Uma vantagem inicial dilui-se, não é compensada.

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A lei dos grandes números nesta visualização

Sejam X1,X2,…X_1, X_2, \dots observações independentes da mesma distribuição, com média finita μ=E[X]\mu = E[X] (basta que E∣X∣<∞E|X| < \infty), e seja Xˉn\bar X_n a média das primeiras n. A lei dos grandes números afirma que Xˉn→μ\bar X_n \to \mu: em probabilidade (lei fraca) e com probabilidade um (lei forte). Para uma moeda, XiX_i vale 1 para cara, pelo que Xˉn=p^n=Hn/n\bar X_n = \hat p_n = H_n/n é a proporção de caras e μ=p\mu = p. A página acompanha uma ou mais trajetórias de 100 000 lançamentos e pergunta o que faz a proporção estabilizar.

Um desvio, duas escalas
Hn−np=n (p^n−p),SD(p^n)=p(1−p)n,SD(Hn−np)=np(1−p)H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

A camada superior mostra p^n\hat p_n; a inferior, o excesso de caras sobre a contagem esperada, Hn−npH_n - np; para uma moeda equilibrada, é metade de «caras menos coroas». O mesmo desvio encolhe em cima e cresce em baixo. A faixa tracejada em cada n é o intervalo exato de 95% da distribuição binomial: o menor intervalo inteiro [an,bn][a_n, b_n] com, no máximo, 2.5% de HnH_n abaixo e, no máximo, 2.5% acima; contém, por isso, pelo menos 95% (a leitura dá a cobertura exata). Em proporção é [an/n, bn/n][a_n/n,\ b_n/n]; em contagem, [an−np, bn−np][a_n - np,\ b_n - np]: o mesmo acontecimento. Com uma vantagem inicial de dez caras, uma moeda acoplada que começou com cinco partilha todos os lançamentos posteriores: as duas diferem sempre exatamente em 5 caras, pelo que as proporções diferem exatamente em 5/n5/n. A vantagem dilui-se, não é compensada.

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O que observar

  • A faixa é pontual: para cada n fixo, pelo menos 95% das trajetórias estão dentro dela, mas uma trajetória que permanece dentro para todos os n é muito mais rara. Uma trajetória que sai da faixa de vez em quando é o que a lei prevê, não uma falha da lei.
  • Nada compensa uma vantagem inicial. Após uma sequência de caras, o lançamento seguinte continua a dar cara com probabilidade p (a falácia do jogador diz o contrário; a janela «Contagens após sequências» faz essa contagem). A proporção estabiliza porque o mesmo excesso é dividido por um n cada vez maior.
  • A faixa estreita-se como 1/n1/\sqrt{n}: para os mesmos 95%, mais uma casa decimal correta exige cerca de cem vezes mais lançamentos. A lei requer média finita: na distribuição de Cauchy, a média de n observações não é mais estável do que uma única observação (ver a página do teorema do limite central).
  • Jacob Bernoulli provou o caso de experiências semelhantes a lançamentos de moedas em Ars Conjectandi (1713); o nome «lei dos grandes números» deve-se a Poisson (1837).
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Controlos

  • A tecla vermelha reproduz lançamentos calculados antecipadamente com uma semente fixa; premida durante a execução, para; premida de novo, continua; no fim, gera lançamentos com a semente seguinte. Prima ou arraste em qualquer ponto da imagem para mover o cursor; as leituras usam apenas os lançamentos à sua esquerda. Partilhar guarda a semente, a versão do algoritmo e o cursor.
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Relacionados

  • H16Distribuição binomialPrevisto
  • H19Teorema do limite central
  • H18Distribuição amostralPrevisto
  • H20Intervalo de confiançaPrevisto
  • H05Distribuição normalPrevisto

Para saber mais: Wikipédia: Law of large numbers (Inglês); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Jacob Bernoulli (Inglês).