Hukum bilangan besar

Misalkan $X_1, X_2, \dots$ adalah pengambilan independen dari satu distribusi dengan rata-rata berhingga $\mu = E[X]$ (cukup bahwa $E|X| < \infty$), dan $\bar X_n$ adalah rata-rata n pengambilan pertama. Hukum bilangan besar menyatakan bahwa $\bar X_n \to \mu$: dalam peluang (hukum lemah) dan dengan peluang satu (hukum kuat). Untuk koin, $X_i$ bernilai 1 untuk gambar, sehingga $\bar X_n = \hat p_n = H_n/n$ adalah proporsi gambar dan $\mu = p$. Halaman ini mengikuti satu atau lebih lintasan 100 000 lemparan dan menanyakan apa yang membuat proporsi mendekati nilai tetap.

Lapisan atas menampilkan $\hat p_n$, lapisan bawah kelebihan gambar terhadap jumlah harapan, $H_n - np$; untuk koin adil, nilainya setengah dari “gambar dikurangi angka”. Penyimpangan yang sama menyusut di atas dan membesar di bawah. Pita putus-putus pada tiap n adalah rentang 95% eksak distribusi binomial: interval bilangan bulat tersempit $[a_n, b_n]$ dengan paling banyak 2.5% dari $H_n$ di bawahnya dan paling banyak 2.5% di atasnya, sehingga mencakup minimal 95% (bacaan memberikan cakupan eksak). Dalam proporsi, nilainya $[a_n/n,\ b_n/n]$, dalam jumlah $[a_n - np,\ b_n - np]$: peristiwa yang sama. Dengan awalan sepuluh gambar, koin pasangan yang bermula dengan lima memakai setiap lemparan berikutnya yang sama: keduanya selalu berbeda tepat 5 gambar, sehingga proporsinya berbeda tepat $5/n$. Keunggulannya diencerkan, bukan dibayar kembali.