Teorema limit pusat

Misalkan $X_1, \dots, X_n$ adalah pengambilan independen dari satu populasi (independen dan berdistribusi identik) dengan rata-rata $\mu$ dan varians $0 < \sigma^2 < \infty$, serta $\bar X$ adalah rata-ratanya. Teorema limit pusat, dalam bentuk Lindeberg–Lévy, menyatakan bahwa rata-rata yang distandardisasi konvergen dalam distribusi ke normal baku: fungsi distribusinya menuju $\Phi$ di setiap titik. Secara informal, $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$. Halaman ini memperlihatkan bagaimana bentuk distribusi $\bar X$ berubah terhadap n.

Lapisan atas adalah populasi. Lapisan bawah menampilkan distribusi rata-rata $\bar X$ dari $n$ pengambilan. Pengulangan sebanyak $N$ kali menghasilkan histogram kuning: histogram berfluktuasi akibat sampling dan dapat dibandingkan dengan kurva teori. Benih tetap menghasilkan kembali sampel yang sama. Setelah diperbesar √n kali, sumbu bawah adalah $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$: rata-rata μ dan simpangan baku σ-nya sama dengan populasi, sehingga bentuknya lebih mudah dibandingkan.

Kurva bertanda “numerik” dihitung secara numerik; kurva lain memakai rumus distribusi eksak. Kemencengan mengukur ketidaksimetrian. Ekses kurtosis membandingkan momen keempat terstandardisasi dengan milik distribusi normal, yang nilainya nol. Jika momen populasi yang bersangkutan ada, rata-rata memiliki kemencengan $\gamma/\sqrt{n}$ dan ekses kurtosis $\kappa/n$. Tidak satu pun dari kedua ukuran ini menjamin pendekatan normal yang baik dengan sendirinya.