Teorema central del límite: visualización interactiva

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El teorema central del límite en esta visualización

Sean $X_1, \dots, X_n$ extracciones independientes de una misma población (independientes e idénticamente distribuidas), con media $\mu$ y varianza $0 < \sigma^2 < \infty$ , y sea $\bar X$ su media. El teorema central del límite, en su forma de Lindeberg–Lévy, afirma que la media estandarizada converge en distribución a la normal estándar: su función de distribución tiende a $\Phi$ en cada punto. Informalmente, $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ . La página muestra cómo cambia con n la forma de la distribución de $\bar X$ .

El teorema

P\!\left(\frac{\sqrt{n}\,(\bar X - \mu)}{\sigma} \le z\right) \to \Phi(z) \quad \text{para todo } z

La capa superior es la población. La inferior muestra la distribución de la media $\bar X$ de $n$ extracciones. Repetirlo $N$ veces produce el histograma amarillo: fluctúa con el muestreo y puede compararse con la curva teórica. Una semilla fija reproduce las mismas muestras. Ampliado por √n, el eje inferior es $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$ : su media μ y su desviación estándar σ coinciden con las de la población, lo que facilita comparar las formas.

Las curvas indicadas como «numérica» se calculan numéricamente; las demás usan fórmulas exactas de distribución. La asimetría mide la falta de simetría. El exceso de curtosis compara el cuarto momento estandarizado con el de una distribución normal, para la que vale cero. Cuando existen los momentos poblacionales correspondientes, la media tiene asimetría $\gamma/\sqrt{n}$ y exceso de curtosis $\kappa/n$ . Ninguna de estas medidas garantiza por sí sola una buena aproximación normal.

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En qué fijarse

El teorema trata de la distribución de la media, no de los datos: la capa superior nunca cambia. Su estrechamiento como $\sigma/\sqrt{n}$ con la anchura real es la ley de √n, un hecho distinto.
«n ≥ 30 es suficiente» es una regla orientativa. Para un suceso de probabilidad 1%, la media de 30 ensayos sigue siendo exactamente 0 con probabilidad $0.99^{30} \approx 0.740$ , y su asimetría $\gamma/\sqrt{n}$ no baja a 0.2 hasta n = 2426. La asimetría 0 tampoco basta: la versión simétrica (±10, cada uno con probabilidad 0.5%) tiene asimetría 0 para todo n y sigue teniendo una gran masa puntual en 0.
Las barras de una distribución reticular tienen una anchura de un paso de la retícula, de modo que su área es una probabilidad: compara formas, no alturas punto por punto. La distribución de Cauchy no tiene media ni varianza: la media de n extracciones tiene exactamente la distribución de una sola extracción y el teorema no se aplica.
El límite normal se remonta a de Moivre (1733, para la binomial) y Laplace (1812); el nombre se debe a Pólya (1920).

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Controles

Dibujar convierte la capa superior en una pizarra: al soltar, tu dibujo se escala para que su área sea 1. La tecla roja reproduce 10 000 medias calculadas de antemano; si la pulsas durante la reproducción, se detiene; si la pulsas de nuevo, continúa con la misma semilla; al terminar, empieza con la siguiente. Compartir guarda la semilla, la versión del algoritmo y el punto alcanzado en la reproducción.

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Conceptos relacionados

H05Distribución normalPrevisto
H18Distribución muestralPrevisto
H12Ley de los grandes números
H16Distribución binomialPrevisto
H20Intervalo de confianzaPrevisto
H26Función de densidad de probabilidadPrevisto

Para saber más: Wikipedia: Central limit theorem (Inglés); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 7 The Central Limit Theorem (Inglés).