中央極限定理

設 $X_1, \dots, X_n$ 是從同一母體獨立抽取的數值（獨立且同分布），平均數為 $\mu$，變異數為 $0 < \sigma^2 < \infty$，並令 $\bar X$ 為它們的平均值。林德伯格–萊維形式的中央極限定理指出，標準化後的平均值依分布收斂至標準常態：其分布函數在每一點都趨近 $\Phi$。非正式地說，$\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$。本頁呈現 $\bar X$ 的分布形狀如何隨 n 改變。

上層是母體。下層顯示 $n$ 次抽取的平均值 $\bar X$ 的分布。重複 $N$ 次便得到黃色直方圖：它會隨抽樣波動，可與理論曲線比較。固定種子可重現相同樣本。放大 √n 倍後，下方座標軸為 $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$：它的平均數 μ 與標準差 σ 都與母體相同，更容易比較形狀。

標示「數值計算」的曲線以數值方法求得；其他使用精確分布公式。偏態係數衡量不對稱程度。超額峰度將標準化的四階動差與常態分布相比，常態的超額峰度為零。當相應的母體動差存在時，平均值的偏態係數是 $\gamma/\sqrt{n}$，超額峰度是 $\kappa/n$。任何一項單獨都無法保證常態近似足夠好。