Центральная предельная теорема

Пусть $X_1, \dots, X_n$ — независимые наблюдения из одной совокупности (независимые и одинаково распределённые) со средним $\mu$ и дисперсией $0 < \sigma^2 < \infty$, а $\bar X$ — их среднее. Центральная предельная теорема в форме Линдеберга — Леви утверждает, что стандартизированное среднее сходится по распределению к стандартному нормальному: его функция распределения стремится к $\Phi$ в каждой точке. Неформально, $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$. Страница показывает, как с n меняется форма распределения $\bar X$.

Верхний слой — генеральная совокупность. Нижний показывает распределение среднего $\bar X$ по $n$ наблюдениям. Повторив это $N$ раз, получаем жёлтую гистограмму: она колеблется от выборки к выборке, и её можно сравнить с теоретической кривой. Фиксированное начальное значение генератора воспроизводит те же выборки. При увеличении в √n раз нижняя ось — $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$: её среднее μ и стандартное отклонение σ совпадают с характеристиками генеральной совокупности, что упрощает сравнение форм.

Кривые с меткой «численно» рассчитаны численными методами; остальные используют точные формулы распределений. Асимметрия измеряет несимметричность. Эксцесс сравнивает стандартизированный четвёртый момент с моментом нормального распределения; эксцесс нормального распределения равен нулю. Если соответствующие моменты генеральной совокупности существуют, асимметрия среднего равна $\gamma/\sqrt{n}$, а эксцесс — $\kappa/n$. Ни одна из этих характеристик сама по себе не гарантирует хорошего нормального приближения.