Théorème central limite

Soient $X_1, \dots, X_n$ des tirages indépendants dans une même population (indépendants et identiquement distribués) de moyenne $\mu$ et de variance $0 < \sigma^2 < \infty$, et $\bar X$ leur moyenne. Le théorème central limite, sous sa forme de Lindeberg-Lévy, affirme que la moyenne centrée réduite converge en loi vers la loi normale centrée réduite : sa fonction de répartition tend vers $\Phi$ en tout point. De façon informelle, $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$. La page montre comment la forme de la distribution de $\bar X$ évolue avec n.

La couche supérieure est la population. La couche inférieure montre la distribution de la moyenne $\bar X$ de $n$ tirages. Répéter cette opération $N$ fois donne l’histogramme jaune : il fluctue selon l’échantillonnage et peut être comparé à la courbe théorique. Une graine fixe reproduit les mêmes échantillons. Après agrandissement par √n, l’axe inférieur est $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$ : sa moyenne μ et son écart-type σ sont ceux de la population, ce qui facilite la comparaison des formes.

Les courbes marquées « numérique » sont calculées numériquement ; les autres utilisent des formules exactes de distributions. Le coefficient d’asymétrie mesure le manque de symétrie. L’excès d’aplatissement compare le moment centré réduit d’ordre quatre à celui d’une loi normale, pour laquelle il vaut zéro. Lorsque les moments correspondants de la population existent, la moyenne a pour asymétrie $\gamma/\sqrt{n}$ et pour excès d’aplatissement $\kappa/n$. Aucun de ces deux indicateurs ne garantit à lui seul une bonne approximation normale.