중심극한정리

$X_1, \dots, X_n$를 평균 $\mu$, 분산 $0 < \sigma^2 < \infty$인 한 모집단에서 독립적으로 추출한 값들(독립이고 동일한 분포)이라 하고, $\bar X$를 그 평균이라 합시다. 린데베르그–레비 형태의 중심극한정리는 표준화한 평균이 표준정규분포로 분포수렴한다고 말합니다. 즉, 분포함수가 모든 점에서 $\Phi$로 수렴합니다. 간단히 쓰면 $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$입니다. 이 페이지에서는 n에 따라 $\bar X$의 분포의 모양이 어떻게 바뀌는지 보여 줍니다.

위층은 모집단입니다. 아래층은 $n$번 추출한 값의 평균 $\bar X$의 분포입니다. 이를 $N$번 반복하면 노란색 히스토그램이 만들어집니다. 표집에 따라 흔들리므로 이론 곡선과 비교할 수 있습니다. 고정된 시드는 같은 표본들을 재현합니다. √n배 확대하면 아래 축은 $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$가 됩니다. 평균 μ와 표준편차 σ가 모집단과 같아져 모양을 비교하기 쉽습니다.

‘수치 계산’으로 표시된 곡선은 수치적으로 계산하며, 나머지는 정확한 분포 공식을 사용합니다. 왜도는 비대칭성을 측정합니다. 초과첨도는 표준화한 4차 적률을 정규분포의 값과 비교하며, 정규분포에서는 영입니다. 해당 모집단 적률이 존재하면 평균의 왜도는 $\gamma/\sqrt{n}$, 초과첨도는 $\kappa/n$입니다. 어느 하나만으로 정규분포에 가까운 근사를 보장하지는 못합니다.