큰 수의 법칙

$X_1, X_2, \dots$를 유한한 평균 $\mu = E[X]$을 갖는 한 분포에서 독립적으로 추출한 값들이라 합시다. $E|X| < \infty$이면 충분합니다. $\bar X_n$는 처음 n개의 평균입니다. 큰 수의 법칙은 $\bar X_n \to \mu$을 말합니다. 약한 법칙은 확률수렴, 강한 법칙은 확률 1로 수렴한다는 뜻입니다. 동전에서는 앞면일 때 $X_i$이 1이므로 $\bar X_n = \hat p_n = H_n/n$은 앞면 비율이고 $\mu = p$입니다. 이 페이지에서는 100 000번 던진 경로를 하나 이상 추적하며 비율이 왜 안정되는지 살펴봅니다.

위층은 $\hat p_n$, 아래층은 기대 횟수보다 많은 앞면 수 $H_n - np$를 보여 줍니다. 공정한 동전에서는 ‘앞면 수 빼기 뒷면 수’의 절반입니다. 같은 편차가 위에서는 줄고 아래에서는 커집니다. 각 n의 점선 띠는 이항분포의 정확한 95% 범위입니다. $H_n$가 아래에 있을 확률과 위에 있을 확률이 각각 2.5% 이하인 가장 좁은 정수 구간 $[a_n, b_n]$이므로 적어도 95%를 포함합니다. 수치 표시는 정확한 포함 확률을 줍니다. 비율로는 $[a_n/n,\ b_n/n]$, 개수로는 $[a_n - np,\ b_n - np]$인 같은 사건입니다. 처음 열 번 앞면으로 앞선 동전은 다섯 번 앞면으로 시작한 동전과 이후 모든 결과를 공유합니다. 둘은 항상 앞면 수가 정확히 5개 다르므로 비율 차이는 정확히 $5/n$입니다. 앞섬은 보상되지 않고 희석됩니다.