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Probabilités et statistiques · Loi des grands nombres

Loi des grands nombres

Lors de répétitions indépendantes d’une même épreuve, la proportion de succès converge à long terme vers sa probabilité, tout en continuant à fluctuer. Une avance initiale est diluée, pas remboursée.

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La loi des grands nombres dans cette visualisation

Soient X1,X2,…X_1, X_2, \dots des tirages indépendants d’une même loi d’espérance finie μ=E[X]\mu = E[X] (il suffit que E∣X∣<∞E|X| < \infty), et Xˉn\bar X_n la moyenne des n premiers. La loi des grands nombres affirme que Xˉn→μ\bar X_n \to \mu : en probabilité (loi faible) et avec probabilité un (loi forte). Pour une pièce, XiX_i vaut 1 pour pile ; Xˉn=p^n=Hn/n\bar X_n = \hat p_n = H_n/n est donc la proportion de piles et μ=p\mu = p. La page suit une ou plusieurs trajectoires de 100 000 lancers et cherche ce qui stabilise la proportion.

Un écart, deux échelles
Hn−np=n (p^n−p),SD(p^n)=p(1−p)n,SD(Hn−np)=np(1−p)H_n - np = n\,(\hat p_n - p), \qquad \mathrm{SD}(\hat p_n) = \sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}, \qquad \mathrm{SD}(H_n - np) = \sqrt{np(1-p)}

La couche supérieure montre p^n\hat p_n, l’inférieure l’excès de piles par rapport au nombre attendu, Hn−npH_n - np ; pour une pièce équilibrée, c’est la moitié de « piles moins faces ». Le même écart rétrécit en haut et grandit en bas. La bande en pointillés pour chaque n est l’intervalle exact à 95 % de la loi binomiale : le plus étroit intervalle d’entiers [an,bn][a_n, b_n] avec au plus 2.5 % de HnH_n en dessous et au plus 2.5 % au-dessus ; il contient donc au moins 95 % (l’affichage donne la couverture exacte). En proportion, c’est [an/n, bn/n][a_n/n,\ b_n/n] ; en nombre, [an−np, bn−np][a_n - np,\ b_n - np] : le même événement. Avec une avance de dix piles, une pièce couplée qui a commencé avec cinq partage tous les lancers suivants : elles diffèrent toujours d’exactement 5 piles, donc leurs proportions diffèrent d’exactement 5/n5/n. L’avance est diluée, pas remboursée.

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À observer

  • La bande est ponctuelle : pour chaque n fixé, au moins 95 % des trajectoires s’y trouvent, mais une trajectoire qui y reste pour tout n est beaucoup plus rare. Qu’une trajectoire sorte de temps à autre de la bande est conforme à la loi, ce n’est pas un échec de celle-ci.
  • Rien ne rembourse une avance initiale. Après une série de piles, le lancer suivant donne encore pile avec probabilité p (l’erreur du joueur affirme le contraire ; la fenêtre « Après une série » en fait le compte). La proportion se stabilise parce que le même excès est divisé par un n toujours plus grand.
  • La bande se resserre en 1/n1/\sqrt{n} : au même niveau de 95 %, une décimale correcte de plus exige environ cent fois plus de lancers. La loi nécessite une espérance finie : pour la loi de Cauchy, la moyenne de n tirages n’est pas plus stabilisée qu’un seul tirage (voir la page du théorème central limite).
  • Jacob Bernoulli a démontré le cas des épreuves de type pile ou face dans Ars Conjectandi (1713) ; le nom « loi des grands nombres » est dû à Poisson (1837).
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Commandes

  • La touche rouge rejoue des lancers calculés à l’avance avec une graine fixe ; un appui pendant la lecture l’arrête, un autre la reprend, et à la fin, elle lance avec la graine suivante. Appuyez ou faites glisser n’importe où sur l’image pour déplacer le curseur ; les valeurs n’utilisent que les lancers à sa gauche. Partager conserve la graine, la version de l’algorithme et le curseur.
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Voir aussi

  • H16Loi binomialeÀ venir
  • H19Théorème central limite
  • H18Distribution d’échantillonnageÀ venir
  • H20Intervalle de confianceÀ venir
  • H05Loi normaleÀ venir

Pour aller plus loin: Wikipédia: Law of large numbers (Anglais); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 3.1 Terminology (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Jacob Bernoulli (Anglais).