Teorema do limite central: visualização interativa

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O teorema do limite central nesta visualização

Sejam $X_1, \dots, X_n$ observações independentes de uma mesma população (independentes e identicamente distribuídas), com média $\mu$ e variância $0 < \sigma^2 < \infty$ , e seja $\bar X$ a sua média. O teorema do limite central, na forma de Lindeberg–Lévy, afirma que a média padronizada converge em distribuição para a normal padrão: a sua função de distribuição tende para $\Phi$ em todos os pontos. Informalmente, $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ . A página mostra como a forma da distribuição de $\bar X$ muda com n.

O teorema

P\!\left(\frac{\sqrt{n}\,(\bar X - \mu)}{\sigma} \le z\right) \to \Phi(z) \quad \text{para todo o } z

A camada superior é a população. A inferior mostra a distribuição da média $\bar X$ de $n$ observações. Repetir isto $N$ vezes produz o histograma amarelo: flutua com a amostragem e pode comparar-se com a curva teórica. Uma semente fixa reproduz as mesmas amostras. Ampliado por √n, o eixo inferior é $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$ : a média μ e o desvio padrão σ coincidem com os da população, facilitando a comparação das formas.

As curvas assinaladas como «numérico» são calculadas numericamente; as restantes usam fórmulas exatas de distribuições. A assimetria mede a falta de simetria. O excesso de curtose compara o quarto momento padronizado com o de uma distribuição normal, para a qual é zero. Quando os momentos correspondentes da população existem, a média tem assimetria $\gamma/\sqrt{n}$ e excesso de curtose $\kappa/n$ . Nenhuma destas medidas, isoladamente, garante uma boa aproximação normal.

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O que observar

O teorema diz respeito à distribuição da média, não à dos dados: a camada superior nunca muda. O estreitamento segundo $\sigma/\sqrt{n}$ , à largura real, é a lei de √n, um resultado distinto.
«n ≥ 30 basta» é uma regra prática. Para um acontecimento com probabilidade de 1%, a média de 30 ensaios continua a ser exatamente 0 com probabilidade $0.99^{30} \approx 0.740$ , e a assimetria $\gamma/\sqrt{n}$ só desce a 0.2 para n = 2426. Assimetria 0 também não basta: a versão simétrica (±10, cada um com probabilidade de 0.5%) tem assimetria 0 para todo o n e mantém uma grande massa de probabilidade em 0.
As barras de uma distribuição reticulada têm a largura de um passo da rede, pelo que a sua área é uma probabilidade: compare as formas, não as alturas ponto a ponto. A distribuição de Cauchy não tem média nem variância: a média de n observações tem exatamente a distribuição de uma observação, e o teorema não se aplica.
O limite normal remonta a de Moivre (1733, para a binomial) e a Laplace (1812); o nome é de Pólya (1920).

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Controlos

Desenhar transforma a camada superior numa área de desenho: ao soltar, o desenho é reescalado para ter área 1. A tecla vermelha reproduz 10 000 médias calculadas antecipadamente; se a premir durante a reprodução, para; se voltar a premir, continua com a mesma semente; no fim, começa a semente seguinte. Partilhar guarda a semente, a versão do algoritmo e o ponto atingido na reprodução.

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Para saber mais: Wikipédia: Central limit theorem (Inglês); OpenStax, Introductory Statistics 2e, 7 The Central Limit Theorem (Inglês).