Teorema del limite centrale

Siano $X_1, \dots, X_n$ estrazioni indipendenti dalla stessa popolazione (indipendenti e identicamente distribuite), con media $\mu$ e varianza $0 < \sigma^2 < \infty$, e sia $\bar X$ la loro media. Il teorema del limite centrale, nella forma di Lindeberg–Lévy, afferma che la media standardizzata converge in distribuzione alla normale standard: la sua funzione di ripartizione tende a $\Phi$ in ogni punto. Informalmente, $\bar X \approx N(\mu, \sigma^2/n)$. La pagina mostra come cambia con n la forma della distribuzione di $\bar X$.

Lo strato superiore è la popolazione. Quello inferiore mostra la distribuzione della media $\bar X$ di $n$ estrazioni. Ripetendo l’operazione $N$ volte si ottiene l’istogramma giallo: oscilla con il campionamento e si può confrontare con la curva teorica. Un seme fisso riproduce gli stessi campioni. Ingrandendo di √n, l’asse inferiore è $Y = \mu + \sqrt{n}\,(\bar x - \mu)$: la sua media μ e la sua deviazione standard σ coincidono con quelle della popolazione, rendendo più facile confrontare le forme.

Le curve indicate con «numerica» sono calcolate numericamente; le altre usano formule esatte delle distribuzioni. L’asimmetria misura lo sbilanciamento della forma. La curtosi in eccesso confronta il quarto momento standardizzato con quello di una distribuzione normale, per la quale è zero. Quando esistono i corrispondenti momenti della popolazione, la media ha asimmetria $\gamma/\sqrt{n}$ e curtosi in eccesso $\kappa/n$. Nessuna delle due misure garantisce da sola una buona approssimazione normale.