Intervalo de confianza

Un intervalo de confianza estima un número desconocido, aquí la media poblacional $\mu$, mediante un rango calculado con una muestra. La regla que convierte una muestra en un intervalo se fija de antemano, y su nivel de confianza, por ejemplo el 95%, es la proporción de muestras cuyo intervalo contiene el valor verdadero. En esta página cada muestra consta de $n$ extracciones independientes de una población normal con $\mu = 50$ y $\sigma = 10$; cada fila de la pila es el intervalo de una muestra y la línea azul es $\mu$.

¿Por qué no puede atribuirse a un intervalo un 95% de probabilidad de contener $\mu$? Aquí $\mu$ es un número fijo y lo que cambia de una muestra a otra es el intervalo. Antes de extraer la muestra, la probabilidad de que su intervalo contenga $\mu$ es del 95%; una vez extraída, ese intervalo contiene 50 o no lo contiene. La banda muestra por qué funciona la regla cuando se conoce $\sigma$. El intervalo $\bar x \pm \mathrm{ME}$ contiene $\mu$ si y solo si $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$, es decir, si $\bar x$ cae en la banda $\mu \pm \mathrm{ME}$, de la misma anchura. Como $\bar X$ sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma/\sqrt{n}$, cae en esa banda el 95% de las veces cuando $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$. Asignar una probabilidad a $\mu$ requiere una distribución previa para $\mu$; se trata de un intervalo de credibilidad bayesiano, una construcción distinta.

¿Qué determina la anchura? Con $\sigma$ conocida, la semianchura es el margen de error $z^*\sigma/\sqrt{n}$, donde $z^*$ deja la mitad de la probabilidad restante en cada cola de la normal estándar. Cada paso hacia el 100% exige más anchura que el anterior: $z^*$ vale aproximadamente 1,645 al 90%, 2,576 al 99% y 3,29 al 99,9%, y ningún intervalo finito ofrece una certeza del 100%. El error estándar de la media es $\sigma/\sqrt{n}$ (véase distribución muestral), así que, a un nivel fijo, la anchura disminuye proporcionalmente a $1/\sqrt{n}$. La cobertura no cambia con $n$: el margen siempre se mide en unidades de la dispersión de $\bar x$.

¿Por qué una $\sigma$ desconocida necesita $t$? Sustituir $\sigma$ por la $s$ de la muestra vuelve aleatorios tanto el centro como la anchura. Una muestra cuya $s$ resulta pequeña recibe un intervalo corto, de modo que los fallos se concentran entre los intervalos cortos. Con $z^*$, la cobertura es $2F_{n-1}(z^*) - 1$, inferior al nivel elegido, donde $F_{n-1}$ es la función de distribución de la $t$ de Student con $n - 1$ grados de libertad. Esa es la distribución de $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$ para datos normales. Sus colas son más pesadas que las de la normal, por lo que su cuantil $t^*$ es mayor que $z^*$, y $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ cubre exactamente al nivel fijado. Corregir solo el promedio de $s$ no basta: $s/c_4$ estima $\sigma$ sin sesgo, pero, al usarlo con $z^*$ a un 95% nominal, la cobertura sigue siendo de solo un 89,5% aproximadamente cuando $n = 5$. A medida que crece $n$, $s$ se estabiliza cerca de $\sigma$ y $t^*$ se aproxima a $z^*$.