Intervalo de confiança

Um intervalo de confiança estima um número desconhecido, aqui a média populacional $\mu$, através de uma faixa calculada a partir de uma amostra. A regra que transforma a amostra num intervalo é fixada de antemão, e o seu nível de confiança, por exemplo 95%, é a proporção de amostras cujo intervalo contém o valor verdadeiro. Nesta página, cada amostra consiste em $n$ extrações independentes de uma população normal com $\mu = 50$ e $\sigma = 10$; cada linha da pilha é o intervalo de uma amostra, e a linha azul é $\mu$.

Porque não se pode dizer que um intervalo tem 95% de probabilidade de conter $\mu$? Aqui, $\mu$ é um número fixo e o intervalo é que muda de amostra para amostra. Antes da recolha, a probabilidade de o intervalo conter $\mu$ é de 95%; depois, esse intervalo contém 50 ou não. A faixa mostra por que a regra funciona quando $\sigma$ é conhecido. O intervalo $\bar x \pm \mathrm{ME}$ contém $\mu$ se e só se $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$, ou seja, se $\bar x$ estiver na faixa $\mu \pm \mathrm{ME}$, de igual largura. Como $\bar X$ tem distribuição normal com desvio-padrão $\sigma/\sqrt{n}$, cai nessa faixa em 95% dos casos quando $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$. Atribuir uma probabilidade ao próprio $\mu$ exige uma distribuição a priori para $\mu$; isso conduz a um intervalo de credibilidade bayesiano, uma construção diferente.

O que define a largura? Com $\sigma$ conhecido, a semilargura é a margem de erro $z^*\sigma/\sqrt{n}$, em que $z^*$ deixa metade da probabilidade restante em cada cauda da normal padrão. Cada passo em direção a 100% exige mais largura do que o anterior: $z^*$ vale cerca de 1,645 a 90%, 2,576 a 99% e 3,29 a 99,9%, e nenhum intervalo finito garante 100%. O erro-padrão da média é $\sigma/\sqrt{n}$ (ver distribuição amostral), pelo que, a nível fixo, a largura diminui proporcionalmente a $1/\sqrt{n}$. A cobertura não muda com $n$: a margem é sempre medida em unidades da dispersão de $\bar x$.

Porque é que um $\sigma$ desconhecido exige $t$? Substituir $\sigma$ pelo $s$ da amostra torna aleatórios tanto o centro como a largura. Uma amostra cujo $s$ sai pequeno recebe um intervalo curto, pelo que as falhas se concentram nos intervalos curtos. Com $z^*$, a cobertura é $2F_{n-1}(z^*) - 1$, inferior ao nível escolhido; $F_{n-1}$ é a função de distribuição da $t$ de Student com $n - 1$ graus de liberdade. Esta é a distribuição de $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$ para dados normais. As suas caudas são mais pesadas do que as da normal, pelo que o quantil $t^*$ é maior do que $z^*$, e $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ atinge exatamente a cobertura escolhida. Corrigir apenas a média de $s$ não basta: $s/c_4$ estima $\sigma$ sem viés, mas, com $z^*$ a um nível nominal de 95%, continua a cobrir apenas cerca de 89,5% dos casos quando $n = 5$. À medida que $n$ aumenta, $s$ estabiliza perto de $\sigma$ e $t^*$ aproxima-se de $z^*$.