Interval kepercayaan

Interval kepercayaan memperkirakan bilangan yang tidak diketahui, di sini rata-rata populasi $\mu$, dengan rentang yang dihitung dari satu sampel. Aturan untuk mengubah sampel menjadi interval ditetapkan sebelumnya, dan tingkat kepercayaannya, misalnya 95%, adalah proporsi sampel yang intervalnya mencakup nilai sebenarnya. Pada halaman ini, setiap sampel terdiri atas $n$ pengambilan independen dari populasi normal dengan $\mu = 50$ dan $\sigma = 10$; setiap baris susunan adalah interval satu sampel, dan garis biru adalah $\mu$.

Mengapa satu interval tidak bisa dikatakan memiliki peluang 95% untuk memuat $\mu$? Di sini $\mu$ adalah bilangan tetap, sedangkan interval berubah dari sampel ke sampel. Sebelum sampel diambil, peluang intervalnya mencakup $\mu$ adalah 95%; setelah diambil, interval itu memuat 50 atau tidak. Pita menunjukkan mengapa aturan ini bekerja saat $\sigma$ diketahui. Interval $\bar x \pm \mathrm{ME}$ mencakup $\mu$ jika dan hanya jika $|\bar x - \mu| \le \mathrm{ME}$, yakni ketika $\bar x$ jatuh dalam pita $\mu \pm \mathrm{ME}$ yang sama lebarnya. Karena $\bar X$ berdistribusi normal dengan simpangan baku $\sigma/\sqrt{n}$, nilainya jatuh dalam pita itu pada 95% pengulangan ketika $\mathrm{ME} = z^*\sigma/\sqrt{n}$. Memberikan peluang kepada $\mu$ itu sendiri memerlukan distribusi prior untuk $\mu$; ini menghasilkan interval kredibel Bayesian, suatu konstruksi yang berbeda.

Apa yang menentukan lebar? Jika $\sigma$ diketahui, setengah lebar adalah margin galat $z^*\sigma/\sqrt{n}$, dengan $z^*$ menyisakan setengah dari peluang yang tersisa di setiap ekor normal standar. Setiap langkah menuju 100% membutuhkan tambahan lebar yang lebih besar: $z^*$ sekitar 1,645 pada 90%, 2,576 pada 99%, dan 3,29 pada 99,9%, dan tidak ada interval berhingga yang menjamin 100%. Galat baku rata-rata adalah $\sigma/\sqrt{n}$ (lihat distribusi sampling), sehingga pada tingkat tetap, lebar menyusut sebanding dengan $1/\sqrt{n}$. Cakupan tidak berubah terhadap $n$: margin selalu diukur dalam satuan sebaran $\bar x$.

Mengapa $\sigma$ yang tidak diketahui memerlukan $t$? Mengganti $\sigma$ dengan $s$ dari sampel membuat pusat dan lebarnya sama-sama acak. Sampel dengan $s$ yang kecil memperoleh interval pendek, sehingga kegagalan mencakup nilai sebenarnya terkumpul di antara interval pendek. Dengan $z^*$, cakupannya adalah $2F_{n-1}(z^*) - 1$, di bawah tingkat yang ditetapkan; $F_{n-1}$ adalah fungsi distribusi kumulatif $t$ Student dengan $n - 1$ derajat kebebasan. Itulah distribusi $(\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n})$ untuk data normal. Ekornya lebih berat daripada normal, jadi kuantil $t^*$ lebih besar daripada $z^*$, dan $\bar x \pm t^* s/\sqrt{n}$ mencakup tepat pada tingkat yang ditetapkan. Mengoreksi rata-rata $s$ saja tidak cukup: $s/c_4$ menaksir $\sigma$ tanpa bias, tetapi ketika dipakai dengan $z^*$ pada tingkat nominal 95%, cakupannya tetap hanya sekitar 89,5% pada $n = 5$. Ketika $n$ membesar, $s$ makin dekat ke $\sigma$ dan $t^*$ mendekati $z^*$.