nilai p

Uji hipotesis menanyakan apakah data akan mengejutkan jika suatu klaim awal, hipotesis nol $H_0$, benar. Di sini $H_0$ menyatakan mesin mengisi kantong dengan rata-rata $\mu = 500$ g. Berat kantong saling independen dan berdistribusi normal dengan $\sigma = 10$ g; satu studi menimbang $n$ kantong dan menghitung rata-ratanya $\bar x$. Nilai p adalah peluang, yang dihitung seolah-olah $H_0$ benar, untuk memperoleh rata-rata yang setidaknya sama ekstrem dengan yang teramati, ke arah yang ditentukan hipotesis alternatif $H_1$. Uji pada taraf $\alpha = 0.05$ memicu alarm ketika $p < 0.05$.

Sebenarnya p merupakan peluang apa? Di bawah $H_0$, rata-rata $\bar X$ berdistribusi normal dengan rata-rata 500 dan galat baku $10/\sqrt{n}$, sehingga posisi rata-rata teramati adalah $z = (\bar x - 500)/(10/\sqrt{n})$. Untuk $H_1\!: \mu < 500$, nilai p adalah luas di kiri $z$, yaitu $\Phi(z)$; untuk $\mu > 500$, luas di kanan; untuk $\mu \neq 500$, kedua ekor, $2\Phi(-|z|)$. Pengulangan menunjukkan hal yang sama lewat hitungan: pada mesin yang benar-benar mengisi rata-rata 500 g, proporsi studi dengan rata-rata setidaknya sama ekstrem akan stabil di dekat p. Arah harus dipilih sebelum melihat data. Memilih nilai yang lebih kecil dari dua nilai p satu sisi setelah melihat data memicu alarm dengan peluang 10% saat $H_0$ benar, dua kali tingkat yang dinyatakan. Dengan arah ditetapkan sebelumnya, p berdistribusi seragam antara 0 dan 1 di bawah $H_0$, sehingga peluang alarm palsu tepat sebesar $\alpha$.

Mengapa p bukan peluang bahwa $H_0$ benar? p dihitung sepenuhnya dalam dunia $H_0$: nilainya adalah $P(\text{rata-rata yang setidaknya sama ekstrem} \mid H_0)$, bukan $P(H_0 \mid \text{data})$. Membalik kondisi memerlukan dua besaran yang tidak pernah dipakai p: seberapa umum mesin yang mengisi kurang sejak awal, dan daya uji, yaitu peluang uji memicu alarm pada mesin seperti itu. Dengan 25 kantong dan kekurangan 3 g, daya uji sekitar $\Phi(1.5 - 1.645)$. Dalam bentuk odds dari Teorema Bayes, alarm mengalikan odds «mengisi kurang dibanding baik» dengan daya uji ÷ $\alpha$, sekitar 8,85 di sini, sehingga odds prior 1 : 4 menjadi sekitar 2,2 : 1. Setelah alarm yang sama, proporsi mesin baik di antara alarm sekitar 2,7% jika 80% mesin mengisi kurang, dan sekitar 68% jika proporsinya 5%. Proporsi ini hanya memakai fakta bahwa alarm terpicu; nilai $\bar x$ sendiri memberikan informasi lebih banyak.

Mengapa perbedaan kecil bisa signifikan? Untuk kekurangan teramati yang tetap, $|z| = |\bar x - 500|\sqrt{n}/\sigma$ membesar seiring $\sqrt{n}$, sehingga nilai p ekor kiri mengecil ketika lebih banyak kantong ditimbang. Empat kali jumlah kantong menggandakan $|z|$. Dalam uji ekor kiri, setengah gram di bawah 500 menjadi signifikan pada $\alpha = 0.05$ mulai dari 1083 kantong. p kecil menyatakan bahwa data tidak lazim jika $\mu$ tepat 500; bukan bahwa perbedaannya penting secara praktis. Kebalikannya pun tidak berlaku: kekurangan nyata sering tidak memicu alarm, sehingga $p > 0.05$ tidak membuktikan bahwa mesin baik. Laporkan besar perbedaan bersama interval kepercayaan: uji dua sisi pada $\alpha = 0.05$ menolak $\mu = 500$ tepat ketika interval 95% $\bar x \pm z^*\sigma/\sqrt{n}$ ($z^* \approx 1.96$) tidak memuat 500.