Teorema Bayes

Teorema Bayes mengubah probabilitas hasil jika penyebab diketahui menjadi probabilitas penyebab jika hasil diketahui: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ untuk setiap kejadian $B$ dengan $P(B) > 0$. Di sini $A$ berarti memiliki penyakit dan $B$ adalah hasil tes. Tes dijelaskan oleh sensitivitas $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{sakit})$ dan spesifisitas $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{tidak sakit})$, sedangkan populasi oleh prevalensi $p = P(\text{sakit})$. Persegi membagi populasi menurut kedua hal itu menjadi empat luas yang sebanding; penggaris bukti di bawahnya menunjukkan pembaruan yang sama sebagai satu langkah pada odds.

Mengapa positif dari tes yang akurat masih bisa membuat penyakit tidak terlalu mungkin? Sensitivitas adalah probabilitas orang sakit mendapat hasil positif. Orang yang telah mendapat hasil positif memerlukan arah sebaliknya: probabilitas dirinya sakit. Untuk mendapatkannya, sisakan hanya orang yang positif dan anggap mereka seluruh kelompok; proporsi yang sakit di dalamnya adalah jawabannya.

Penyebutnya adalah $P(+)$: positif sejati dari sedikit orang sakit ditambah positif palsu dari banyak orang yang tidak sakit. Ketika penyakit langka, tingkat positif palsu yang kecil $1 - \mathrm{Sp}$, jika diterapkan pada hampir semua orang, bisa menghasilkan lebih banyak positif palsu daripada positif sejati. Itulah yang ditunjukkan tuas: dua blok berarsir menjadi seluruh persegi, dan lebar blok sakit memberi jawabannya.

Apa sumbangan tes itu sendiri? Bagilah rumus untuk yang sakit dengan rumus yang sama untuk yang tidak sakit, dan $P(+)$ saling menghapus. Odds posterior adalah odds prior $p : (1 - p)$ dikalikan rasio likelihood $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$, atau dikalikan $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ setelah negatif. Rasio itu milik tes; odds prior milik orang yang dites. Penggaris memakai skala logaritma odds, sehingga perkalian menjadi penjumlahan (seperti mistar hitung, lihat logaritma). Sebuah hasil menjadi langkah dengan panjang tetap dari mana pun prior dimulai. Dari penyakit langka jauh di kiri, tes dengan $\mathrm{LR}^+$ berhingga mengambil satu langkah yang mungkin belum mencapai tengah; hanya tes tanpa positif palsu yang memiliki rasio tak hingga. Negatif dari tes yang berguna ($\mathrm{LR}^- < 1$) melangkah ke arah lain, tetapi panjang langkahnya sama dari mana pun dimulai: makin mungkin penyakit sebelumnya, makin tinggi probabilitas yang tersisa, kecuali tes tidak pernah melewatkan orang sakit ($\mathrm{LR}^- = 0$).

Apa yang diberitahukan positif berikutnya? Misalkan di antara orang sakit dan di antara orang yang tidak sakit secara terpisah, hasil berulang independen dan kinerja tes sama setiap kali. Maka setiap positif mengalikan odds dengan $\mathrm{LR}^+$ yang sama; setelah $k$ positif, odds menjadi odds prior dikalikan $(\mathrm{LR}^+)^k$. Pada persegi, setiap positif membagi kelompok lagi dan menyisakan bagian yang kembali positif. Tes berulang di dunia nyata sering melanggar asumsi ini: kesalahan yang berasal dari orangnya, seperti antibodi yang kebetulan bereaksi dengan tes, cenderung muncul lagi. Positif kedua lalu menambah lebih sedikit bukti daripada yang dikatakan rumus.