Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes trasforma la probabilità di un risultato data una causa nella probabilità della causa dato il risultato: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ per qualsiasi evento $B$ con $P(B) > 0$. Qui $A$ è avere una malattia e $B$ un risultato del test. Il test è descritto dalla sensibilità $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{malato})$ e dalla specificità $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{sano})$, la popolazione dalla prevalenza $p = P(\text{malato})$. Un quadrato divide la popolazione secondo entrambi i criteri in quattro aree proporzionali; il righello dell’evidenza sotto mostra lo stesso aggiornamento come un passo nelle odds.

Perché un positivo di un test accurato può lasciare la malattia improbabile? La sensibilità è la probabilità che una persona malata risulti positiva. Chi è risultato positivo cerca l’inverso: la probabilità di essere malato. Per ottenerla, tieni solo le persone positive e considerale l’intero gruppo: la quota di malati al suo interno è la risposta.

Il denominatore è $P(+)$: i veri positivi fra i pochi malati più i falsi positivi fra i molti che non lo sono. Quando la malattia è rara, un piccolo tasso di falsi positivi $1 - \mathrm{Sp}$, applicato a quasi tutti, può produrre più falsi che veri positivi. È ciò che mostra la leva: i due blocchi ombreggiati diventano l’intero quadrato e la larghezza del blocco dei malati dà la risposta.

Che cosa apporta il test stesso? Dividi la formula dei malati per quella corrispondente di chi non ha la malattia e $P(+)$ si semplifica: le odds a posteriori sono le odds a priori $p : (1 - p)$ moltiplicate per il rapporto di verosimiglianza $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$, oppure per $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ dopo un negativo. Il rapporto appartiene al test, le odds a priori alle persone sottoposte al test. Il righello usa il logaritmo delle odds, perciò moltiplicare diventa sommare (come su un regolo calcolatore, vedi logaritmo), e un risultato è un passo di lunghezza fissa da qualsiasi punto di partenza. Per una malattia rara, molto a sinistra, un test con $\mathrm{LR}^+$ finito fa un passo che potrebbe non arrivare al centro; solo un test senza falsi positivi ha un rapporto infinito. Un negativo di un test utile ($\mathrm{LR}^- < 1$) fa un passo nella direzione opposta, ma di uguale lunghezza ovunque inizi: più la malattia era probabile prima, più alta è la probabilità che resta, a meno che il test non manchi mai una persona malata ($\mathrm{LR}^- = 0$).

Che cosa dice un altro positivo? Supponiamo che, fra i malati e fra chi non ha la malattia separatamente, i risultati ripetuti siano indipendenti e il test abbia ogni volta le stesse prestazioni. Ogni positivo moltiplica allora le odds per lo stesso $\mathrm{LR}^+$; dopo $k$ positivi, le odds sono quelle a priori moltiplicate per $(\mathrm{LR}^+)^k$. Nel quadrato, ogni positivo divide di nuovo il gruppo e tiene la parte risultata ancora positiva. I test ripetuti reali spesso violano questa ipotesi: un errore legato alla persona, per esempio un anticorpo che reagisce casualmente con il test, tende a ripresentarsi. Un secondo positivo aggiunge allora meno di quanto dica la formula.