Théorème de Bayes

Le théorème de Bayes transforme la probabilité d’un résultat connaissant une cause en celle de la cause connaissant le résultat : $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ pour tout événement $B$ tel que $P(B) > 0$. Ici, $A$ signifie être malade et $B$ désigne un résultat de test. Le test est décrit par sa sensibilité $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{malade})$ et sa spécificité $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{non malade})$, la population par sa prévalence $p = P(\text{malade})$. Un carré partage la population selon ces deux critères en quatre aires proportionnelles ; la règle des preuves, en dessous, montre la même mise à jour comme un pas sur les cotes.

Pourquoi un résultat positif d’un test précis peut-il laisser la maladie peu probable ? La sensibilité est la probabilité qu’une personne malade ait un résultat positif. Une personne positive cherche l’inverse : la probabilité d’être malade. Pour l’obtenir, ne gardez que les personnes positives et prenez-les comme groupe entier : les malades en représentent cette proportion.

Le dénominateur est $P(+)$ : les vrais positifs parmi les rares malades, plus les faux positifs parmi les nombreux non-malades. Quand la maladie est rare, un petit taux de faux positifs $1 - \mathrm{Sp}$, appliqué à presque tout le monde, peut produire plus de faux que de vrais positifs. C’est ce que montre le levier : les deux blocs ombrés deviennent le carré entier, et la largeur du bloc des malades donne la réponse.

Qu’apporte le test lui-même ? Divisez la formule des malades par celle des non-malades : $P(+)$ se simplifie. La cote a posteriori est la cote a priori $p : (1 - p)$ multipliée par le rapport de vraisemblance $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$, ou par $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ après un résultat négatif. Le rapport appartient au test, la cote a priori aux personnes testées. La règle est graduée selon le logarithme de la cote : multiplier revient à ajouter (comme sur une règle à calcul, voir logarithme), et un résultat est un pas de longueur fixe, quel que soit le point de départ. Pour une maladie rare, tout à gauche, un test dont $\mathrm{LR}^+$ est fini fait un pas qui peut ne pas atteindre le milieu ; seul un test sans faux positifs a un rapport infini. Un résultat négatif d’un test utile ($\mathrm{LR}^- < 1$) fait un pas dans l’autre sens, toujours de même longueur : plus la maladie était probable avant, plus la probabilité restante est élevée, sauf si le test ne manque jamais une personne malade ($\mathrm{LR}^- = 0$).

Que dit un autre résultat positif ? Supposons que, parmi les malades et parmi les non-malades séparément, les résultats répétés soient indépendants et que le test ait les mêmes performances à chaque fois. Chaque positif multiplie alors la cote par le même $\mathrm{LR}^+$ ; après $k$ positifs, elle vaut la cote a priori multipliée par $(\mathrm{LR}^+)^k$. Dans le carré, chaque positif partage à nouveau le groupe et ne garde que les personnes encore positives. Les tests répétés réels enfreignent souvent cette hypothèse : une erreur liée à la personne, par exemple un anticorps qui réagit fortuitement avec le test, tend à revenir. Un second positif apporte alors moins que ce qu’indique la formule.