Teorema de Bayes

El teorema de Bayes transforma la probabilidad de un resultado dada una causa en la probabilidad de la causa dado el resultado: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ para cualquier suceso $B$ con $P(B) > 0$. Aquí, $A$ es tener una enfermedad y $B$ un resultado de prueba. La prueba se describe por su sensibilidad $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{enfermo})$ y su especificidad $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{sano})$, y la población por su prevalencia $p = P(\text{enfermo})$. Un cuadrado divide la población según ambos criterios en cuatro áreas proporcionales; la regla de evidencia de abajo muestra la misma actualización como un paso en las odds.

¿Por qué un positivo de una prueba precisa puede dejar la enfermedad como poco probable? La sensibilidad es la probabilidad de que una persona enferma dé positivo. Quien ha dado positivo necesita lo contrario: la probabilidad de estar enfermo. Para obtenerla, conserva solo a quienes dieron positivo y considéralos el grupo completo: la proporción de personas enfermas dentro de él es la respuesta.

El denominador es $P(+)$: los verdaderos positivos entre las pocas personas enfermas más los falsos positivos entre las muchas que no lo están. Cuando la enfermedad es rara, una pequeña tasa de falsos positivos $1 - \mathrm{Sp}$ aplicada a casi todo el mundo puede producir más falsos que verdaderos positivos. Eso muestra la palanca: los dos bloques sombreados se convierten en el cuadrado entero y la anchura del bloque de enfermos es la respuesta.

¿Qué aporta la propia prueba? Divide la fórmula de las personas enfermas por la equivalente para las sanas y $P(+)$ se cancela: las odds posteriores son las odds previas $p : (1 - p)$ multiplicadas por la razón de verosimilitud $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$, o por $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$ tras un negativo. La razón pertenece a la prueba; las odds previas, a las personas examinadas. La regla usa una escala logarítmica de las odds, de modo que multiplicar se convierte en sumar (como en una regla de cálculo, véase logaritmo). Un resultado es así un paso de longitud fija, sea cual sea el punto de partida. Desde una enfermedad rara, muy a la izquierda, una prueba con $\mathrm{LR}^+$ finita da un paso que puede no llegar al centro; solo una prueba sin falsos positivos tiene una razón infinita. Un negativo de una prueba útil ($\mathrm{LR}^- < 1$) avanza en sentido contrario, pero con la misma longitud de paso desde cualquier punto: cuanto más probable era la enfermedad antes, mayor es la probabilidad que queda, salvo que la prueba nunca pase por alto a una persona enferma ($\mathrm{LR}^- = 0$).

¿Qué te dice otro positivo? Supongamos que, entre las personas enfermas y entre las sanas por separado, los resultados repetidos son independientes y la prueba rinde igual cada vez. Entonces cada positivo multiplica las odds por la misma $\mathrm{LR}^+$; tras $k$ positivos, son las odds previas multiplicadas por $(\mathrm{LR}^+)^k$. En el cuadrado, cada positivo vuelve a dividir el grupo y conserva solo la parte que da positivo otra vez. Las pruebas repetidas reales suelen incumplir esta suposición: un error debido a la persona, como un anticuerpo que reacciona por casualidad con la prueba, tiende a reaparecer. Un segundo positivo aporta entonces menos de lo que dice la fórmula.