貝氏定理

貝氏定理將「已知原因時結果的機率」轉為「已知結果時原因的機率」：對任何滿足$P(B) > 0$的事件$B$，都有$P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$。本頁中，$A$表示患病，$B$表示一次檢測結果；檢測以敏感度$\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{患病})$與特異度$\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{未患病})$描述，人群則以盛行率$p = P(\text{患病})$描述。方塊依這兩種分類把人群分成四個面積成比例的區域，下方的證據尺則把同一次更新顯示為勝算上的一步。

檢測很準，為何陽性者仍可能多半未患病？敏感度是患病者測出陽性的機率；已測出陽性的人需要的是反過來的機率，也就是自己患病的機率。求法是只留下測出陽性的人，把他們當成整個群體，看看其中患病者所占的比例。

分母是$P(+)$：少數患病者中的真陽性，加上多數未患病者中的偽陽性。疾病罕見時，即使偽陽性率$1 - \mathrm{Sp}$不大，套用到幾乎所有人，也可能使偽陽性人數多過真陽性。撥桿演示的就是這個過程：兩個有底色的區塊擴展成整個方塊，患病區塊的寬度就是答案。

檢測本身提供了什麼？將患病者的公式除以未患病者的相同公式，$P(+)$就會約掉：後驗勝算等於先驗勝算$p : (1 - p)$乘以概似比$\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$，陰性後則乘以$\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$。概似比取決於檢測，先驗勝算取決於受檢者。證據尺使用勝算的對數刻度，因此乘法變成加法（和計算尺一樣，見對數）；無論先驗在何處，一次結果都是固定長度的一步。罕見疾病的起點在很左側，$\mathrm{LR}^+$有限的檢測走一步可能還到不了中間；只有沒有偽陽性的檢測，陽性概似比才會是無窮大。有用的檢測（$\mathrm{LR}^- < 1$）得到陰性時往另一側走，但無論從哪裡出發，步長都相同：事前越可能患病，事後剩下的機率就越高，除非檢測從不漏掉患病者（$\mathrm{LR}^- = 0$）。

再一次陽性說明什麼？假設分別在患病者與未患病者中，重複檢測的結果彼此獨立，而且每次檢測表現相同。那麼每次陽性都把勝算乘以相同的$\mathrm{LR}^+$，$k$次陽性後，勝算就是先驗勝算乘以$(\mathrm{LR}^+)^k$。在方塊中，每次陽性都將目前人群重新分組，只留下又測出陽性的部分。實際重複檢測常不滿足這個假設：若錯誤來自受檢者本身，例如體內恰好有會與試劑反應的抗體，錯誤往往會再次出現；第二次陽性增加的證據就比公式所算的少。