مبرهنة بايز

تحوّل مبرهنة بايز احتمال نتيجة عند معرفة سبب إلى احتمال السبب عند معرفة النتيجة: $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ لأي حدث $B$ يحقق $P(B) > 0$. هنا $A$ هو الإصابة بمرض، و$B$ نتيجة اختبار. يوصف الاختبار بالحساسية $\mathrm{Se} = P(+ \mid \text{مصاب})$ والنوعية $\mathrm{Sp} = P(- \mid \text{غير مصاب})$، وتوصف المجموعة بمعدل الانتشار $p = P(\text{مصاب})$. يقسّم المربع الأشخاص وفق التصنيفين إلى أربع مساحات متناسبة، وتعرض مسطرة الأدلة تحته التحديث نفسه كخطوة في الأرجحية.

لماذا قد يبقى المرض غير مرجح بعد إيجابية اختبار دقيق؟ الحساسية هي احتمال أن تكون نتيجة المصاب إيجابية. أما من حصل على نتيجة إيجابية فيحتاج العكس: احتمال أن يكون مصابًا. لإيجاده، أبقِ من حصلوا على نتيجة إيجابية فقط واعتبرهم المجموعة كلها؛ نسبة المصابين بينهم هي الإجابة.

المقام هو $P(+)$: الإيجابيات الحقيقية من قلة المصابين، مضافًا إليها الإيجابيات الكاذبة من كثرة غير المصابين. عندما يكون المرض نادرًا، قد يؤدي معدل صغير للإيجابيات الكاذبة $1 - \mathrm{Sp}$، إذا طُبّق على الجميع تقريبًا، إلى عدد يفوق الإيجابيات الحقيقية. هذا ما يعرضه الذراع: تصبح الكتلتان المظللتان المربع كله، ويكون عرض كتلة المصابين هو الإجابة.

ماذا يضيف الاختبار نفسه؟ اقسم صيغة المصابين على الصيغة نفسها لغير المصابين، فتُختزل $P(+)$: الأرجحية البعدية هي الأرجحية القبلية $p : (1 - p)$ مضروبة في نسبة الترجيح $\mathrm{LR}^+ = \mathrm{Se}/(1 - \mathrm{Sp})$، وبعد نتيجة سلبية تُضرب في $\mathrm{LR}^- = (1 - \mathrm{Se})/\mathrm{Sp}$. النسبة تخص الاختبار، والأرجحية القبلية تخص الأشخاص المفحوصين. تُدرّج المسطرة بلوغاريتم الأرجحية، فيتحول الضرب إلى جمع (كما في المسطرة الحاسبة، انظر اللوغاريتم)، وتكون النتيجة خطوة ثابتة الطول من أي موضع تبدأ منه القيمة القبلية. لمرض نادر بعيد إلى اليسار، قد لا تصل خطوة واحدة لاختبار ذي $\mathrm{LR}^+$ محدودة إلى المنتصف؛ ولا تكون النسبة لا نهائية إلا لاختبار بلا إيجابيات كاذبة. سلبية اختبار مفيد ($\mathrm{LR}^- < 1$) تخطو في الاتجاه الآخر، لكن طول الخطوة واحد أينما بدأت: كلما كان المرض أرجح قبل الاختبار، ارتفع الاحتمال المتبقي، إلا إذا كان الاختبار لا يفوّت أي مصاب ($\mathrm{LR}^- = 0$).

ماذا تخبرك إيجابية أخرى؟ افترض أن النتائج المتكررة مستقلة داخل مجموعة المصابين وداخل مجموعة غير المصابين كل على حدة، وأن أداء الاختبار متماثل كل مرة. عندئذ تضرب كل إيجابية الأرجحية في $\mathrm{LR}^+$ نفسها؛ وبعد نتائج إيجابية عددها $k$ تصبح الأرجحية هي القبلية مضروبة في $(\mathrm{LR}^+)^k$. في المربع، تقسّم كل إيجابية المجموعة مجددًا وتُبقي الجزء الذي حصل على إيجابية مرة أخرى. الاختبارات المتكررة الواقعية كثيرًا ما تخالف هذا الافتراض: فالخطأ الناشئ من الشخص، مثل جسم مضاد يتفاعل مصادفة مع الاختبار، يميل إلى العودة. عندها تضيف الإيجابية الثانية أدلة أقل مما تقوله الصيغة.