التوزيع ذو الحدين

كرّر تجربة نتيجتها نعم أو لا ⁦$n$⁩ مرة، بصورة مستقلة وباحتمال «نعم» نفسه ⁦$p$⁩ كل مرة. عندئذ يتبع عدد إجابات نعم، ⁦$X$⁩، التوزيع ذا الحدين: ⁦$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$⁩ حيث ⁦$k = 0, 1, \dots, n$⁩. على لوح غالتون، كل صف من الأوتاد تجربة، والانعطاف يمينًا هو نعم؛ لذا يحصي رقم خانة الوصول انعطافات الكرة يمينًا. حدود الأعمدة تمثل الاحتمالات الدقيقة، والكرات التي تسقطها تملؤها بالتكرارات النسبية المشاهدة.

من أين يأتي العاملان؟ الكرة التي تنتهي في الخانة ⁦$k$⁩ انعطفت يمينًا ⁦$k$⁩ مرة ويسارًا ⁦$n - k$⁩ مرة بترتيب ما. وبما أن الانعطافات مستقلة وأن ⁦$p$⁩ لا تتغير، فلكل مسار من هذا النوع الاحتمال نفسه، بعامل واحد لكل وتد: ⁦$p^k(1 - p)^{n-k}$⁩. عدد هذه المسارات هو عدد طرق اختيار ⁦$k$⁩ صفوف من أصل ⁦$n$⁩ لتكون الانعطافات فيها يمينًا، أي ⁦$\binom{n}{k}$⁩. عند العد وتدًا وتدًا، يصل إلى كل وتد ما يأتي من الوتدين فوقه، وهذه هي طريقة جمع مثلث باسكال. من دون تلك الشروط، قد لا يعطي حاصل الضرب احتمال المسار. المثال الشائع هو توزيع الورق من دون إرجاع: احتمال أن تكون الورقة التالية من القلوب يعتمد على الأوراق التي وُزعت، لذلك يتبع عدد القلوب في يد اللاعب التوزيع فوق الهندسي، لا التوزيع ذا الحدين.

لماذا لا تكون الخانة ذات المسارات الأكثر هي الأكثر احتمالًا دائمًا؟ نفترض ⁦$0 < p < 1$⁩. لوسط اللوح أكبر عدد من المسارات، لكن عندما ⁦$p \ne 1/2$⁩ يكون احتمال كل منها أقل من احتمال مسار ينعطف مرات أكثر إلى الجهة الأرجح. يوضح «التفكيك إلى عاملين» هذا التنافس على مقياس لوغاريتمي، حيث يتحول حاصل الضرب إلى مجموع: ترسم أعداد المسارات قوسًا، واحتمال مسار واحد خطًا مستقيمًا ميله ⁦$\ln\frac{p}{1-p}$⁩، وهذا الخط يميل بالقوس. تعطي الخانات المتجاورة موضع القمة بدقة: ⁦$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$⁩، وتتجاوز هذه النسبة ⁦1⁩ ما دام ⁦$k < (n+1)p - 1$⁩. إذن العدد الأكثر احتمالًا هو ⁦$\lfloor (n+1)p \rfloor$⁩؛ وعندما تكون ⁦$(n+1)p$⁩ عددًا صحيحًا، تتساوى معه الخانة ذات الرقم الأقل بواحد.

ما المتوسط والتشتت؟ أعطِ كل نعم قيمة ⁦1⁩ وكل لا قيمة ⁦0⁩؛ عندئذ تكون ⁦$X$⁩ مجموع ⁦$n$⁩ قيم، متوسط كل منها ⁦$p$⁩ وتباينها ⁦$p(1 - p)$⁩. المتوسطات تُجمع دائمًا، وفي التجارب المستقلة تُجمع التباينات أيضًا: متوسط ⁦$X$⁩ هو ⁦$np$⁩ وانحرافها المعياري ⁦$\sqrt{np(1 - p)}$⁩. عند تثبيت ⁦$n$⁩، يكون التشتت أكبر ما يمكن عند ⁦$p = 1/2$⁩ ويتناقص نحو الصفر كلما اقتربت ⁦$p$⁩ من ⁦0⁩ أو ⁦1⁩؛ وعند الطرفين تعطي كل تجربة الإجابة نفسها. بعد تشغيل اللوح، يعرض المؤشر متوسط الكرات وانحرافها المعياري بجانب هذه القيم النظرية. يتغيران بين تشغيل وآخر لأن الكرات عينة. عندما لا تعود ⁦$np(1 - p)$⁩ صغيرة، تبدو الأعمدة كجرس، وتفسّر مبرهنة النهاية المركزية السبب.