Binomialverteilung

Wiederhole einen Ja-Nein-Versuch $n$-mal, unabhängig und jedes Mal mit derselben Wahrscheinlichkeit $p$ für „Ja“. Dann ist die Anzahl $X$ der Ja-Antworten binomialverteilt: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ für $k = 0, 1, \dots, n$. Auf dem Galtonbrett ist jede Stiftreihe ein Versuch, und eine Rechtswendung zählt als Ja. Das Fach, in dem eine Kugel landet, zählt somit ihre Rechtswendungen. Die Umrisse der Balken zeigen die exakten Wahrscheinlichkeiten; die fallenden Kugeln füllen sie mit beobachteten Häufigkeiten.

Woher kommen die beiden Faktoren? Eine Kugel in Fach $k$ ist $k$-mal rechts und $n - k$-mal links abgebogen, in irgendeiner Reihenfolge. Weil die Wendungen unabhängig sind und $p$ gleich bleibt, hat jeder solche Weg dieselbe Wahrscheinlichkeit, mit einem Faktor je Stift: $p^k(1 - p)^{n-k}$. Die Anzahl dieser Wege ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus $n$ Reihen die $k$ Rechtswendungen auszuwählen: $\binom{n}{k}$. Zählt man Stift für Stift, kommen zu jedem Stift die Wege von den beiden darüber zusammen. So entsteht das Pascalsche Dreieck. Ohne diese Bedingungen muss das Produkt nicht die Wahrscheinlichkeit eines Weges ergeben. Ein bekanntes Beispiel ist das Kartengeben ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Karte eine Herzkarte ist, hängt von den schon ausgeteilten Karten ab. Die Anzahl der Herzkarten auf einer Hand ist deshalb hypergeometrisch verteilt, nicht binomialverteilt.

Warum ist das Fach mit den meisten Wegen nicht immer das wahrscheinlichste? Betrachte $0 < p < 1$. Zur Mitte des Bretts führen die meisten Wege. Doch bei $p \ne 1/2$ ist jeder davon weniger wahrscheinlich als ein Weg mit mehr Wendungen zur wahrscheinlicheren Seite. „In Faktoren zerlegen“ zeigt dieses Zusammenspiel auf einer logarithmischen Skala, auf der ein Produkt zur Summe wird: Die Weganzahlen bilden einen Bogen, die Wahrscheinlichkeit eines Weges eine Gerade mit Steigung $\ln\frac{p}{1-p}$, und diese Gerade neigt den Bogen. Benachbarte Fächer liefern das Maximum exakt: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$ ist größer als 1, solange $k < (n+1)p - 1$ gilt. Daher ist die wahrscheinlichste Anzahl $\lfloor (n+1)p \rfloor$. Ist $(n+1)p$ ganzzahlig, ist das Fach direkt darunter genauso wahrscheinlich.

Wie groß sind Mittelwert und Streuung? Werte jedes Ja als 1 und jedes Nein als 0. Dann ist $X$ die Summe von $n$ Werten, jeweils mit Mittelwert $p$ und Varianz $p(1 - p)$. Mittelwerte addieren sich immer; bei unabhängigen Versuchen gilt das auch für Varianzen. Somit hat $X$ den Mittelwert $np$ und die Standardabweichung $\sqrt{np(1 - p)}$. Bei festem $n$ ist die Streuung bei $p = 1/2$ am größten und nähert sich null, wenn $p$ gegen 0 oder 1 geht. An den Endpunkten liefert jeder Versuch dieselbe Antwort. Nach einem Durchlauf zeigt die Anzeige Mittelwert und Standardabweichung der Kugeln neben diesen theoretischen Werten. Sie schwanken von Durchlauf zu Durchlauf, denn die Kugeln bilden eine Stichprobe. Sobald $np(1 - p)$ nicht mehr klein ist, ähneln die Balken einer Glocke; der zentraler grenzwertsatz erklärt, warum.