Binom dağılımı

Evet veya hayır sonuçlu bir denemeyi, her seferinde aynı $p$ “evet” olasılığıyla, bağımsız olarak $n$ kez tekrarlayın. Evet sayısı $X$ o zaman binom dağılımına uyar: $k = 0, 1, \dots, n$ için $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$. Galton tahtasında her pim sırası bir deneme, sağa dönüş ise bir evettir; dolayısıyla topun düştüğü hazne sağa dönüşlerini sayar. Çubukların dış çizgileri tam olasılıkları gösterir; bıraktığınız toplar içlerini gözlenen sıklıklarla doldurur.

İki çarpan nereden gelir? $k$ numaralı hazneye düşen top, bir sırayla $k$ kez sağa ve $n - k$ kez sola dönmüştür. Dönüşler bağımsız ve $p$ sabit olduğundan, bu yolların her birinin olasılığı aynıdır; her pim bir çarpan verir: $p^k(1 - p)^{n-k}$. Bu yolların sayısı, $n$ sıra içinden sağa dönülecek $k$ sırayı seçmenin sayısıdır: $\binom{n}{k}$. Pim pim sayıldığında, her pime üstündeki iki pimden yollar gelir; Pascal üçgenindeki toplama böyle oluşur. Bu koşullar yoksa çarpım bir yolun olasılığını vermeyebilir. Geri koymadan kart dağıtmak yaygın bir örnektir: sıradaki kartın kupa olma olasılığı daha önce dağıtılan kartlara bağlıdır. Bu yüzden bir eldeki kupa sayısı binom değil, hipergeometrik dağılıma uyar.

En çok yolu olan hazne neden her zaman en olası değildir? $0 < p < 1$ durumunu ele alalım. Tahtanın ortasına en çok yol ulaşır, ama $p \ne 1/2$ iken her biri, daha olası yöne daha çok dönen bir yoldan daha az olasıdır. “Çarpanlarına ayır”, bu çekişmeyi çarpımın toplama dönüştüğü logaritmik ölçekte gösterir: yol sayıları bir kemer, bir yolun olasılığı ise eğimi $\ln\frac{p}{1-p}$ olan bir doğru oluşturur; doğru kemeri yatırır. Komşu hazneler tepeyi tam olarak verir: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, $k < (n+1)p - 1$ koşulu sağlandığı sürece 1’den büyüktür. Dolayısıyla en olası sayı $\lfloor (n+1)p \rfloor$ olur; $(n+1)p$ tam sayıysa hemen altındaki hazneyle olasılıkları eşittir.

Ortalama ve yayılım nedir? Her evete 1, her hayıra 0 verin. Böylece $X$, her birinin ortalaması $p$, varyansı $p(1 - p)$ olan $n$ değerin toplamıdır. Ortalamalar her zaman toplanır; bağımsız denemelerde varyanslar da toplanır. Dolayısıyla $X$ için ortalama $np$, standart sapma $\sqrt{np(1 - p)}$ olur. $n$ sabitken yayılım $p = 1/2$ durumunda en geniştir; $p$, 0 veya 1’e yaklaşırken sıfıra iner. Uç noktalarda her deneme aynı yanıtı verir. Bir çalıştırmadan sonra gösterge, topların ortalama ve standart sapmasını bu kuramsal değerlerin yanına koyar. Toplar bir örneklem olduğundan bunlar her çalıştırmada değişir. $np(1 - p)$ artık küçük olmadığında çubuklar çana benzer; nedenini merkezi limit teoremi açıklar.