Биномиальное распределение

Повторите испытание с ответами «да» и «нет» $n$ раз независимо, каждый раз с одной и той же вероятностью $p$ ответа «да». Тогда число ответов «да», $X$, имеет биномиальное распределение: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ при $k = 0, 1, \dots, n$. На доске Гальтона каждый ряд штырьков — одно испытание, а поворот вправо означает «да», поэтому номер ячейки равен числу поворотов вправо. Контуры столбцов показывают точные вероятности; падающие шарики заполняют их наблюдаемыми частотами.

Откуда берутся два множителя? Шарик, попавший в ячейку $k$, повернул вправо $k$ раз и влево $n - k$ раз в некотором порядке. Поскольку повороты независимы, а $p$ неизменно, каждый такой путь имеет одну и ту же вероятность, по одному множителю на штырёк: $p^k(1 - p)^{n-k}$. Число таких путей — это число способов выбрать $k$ рядов для поворота вправо из $n$ рядов, то есть $\binom{n}{k}$. Если считать по штырькам, к каждому приходят пути от двух верхних: так складывается треугольник Паскаля. Без этих условий произведение может не давать вероятность пути. Обычный пример — раздача карт без возвращения: вероятность следующей червы зависит от уже розданных карт, поэтому число червей на руке имеет гипергеометрическое, а не биномиальное распределение.

Почему ячейка с наибольшим числом путей не всегда наиболее вероятна? Рассмотрим $0 < p < 1$. К середине доски ведёт больше всего путей, но при $p \ne 1/2$ каждый из них менее вероятен, чем путь с большим числом поворотов в более вероятную сторону. «Разложить на множители» показывает это соперничество в логарифмическом масштабе, где произведение становится суммой: числа путей образуют арку, вероятность одного пути — прямую с наклоном $\ln\frac{p}{1-p}$, и эта прямая наклоняет арку. Соседние ячейки позволяют найти вершину точно: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, и это отношение больше 1, пока $k < (n+1)p - 1$. Поэтому наиболее вероятное число равно $\lfloor (n+1)p \rfloor$; если $(n+1)p$ — целое, ячейка с номером на единицу меньше имеет ту же вероятность.

Каковы среднее и разброс? Запишем 1 для каждого «да» и 0 для каждого «нет». Тогда $X$ — сумма $n$ величин, каждая со средним $p$ и дисперсией $p(1 - p)$. Средние складываются всегда, а для независимых испытаний складываются и дисперсии: у $X$ среднее $np$ и стандартное отклонение $\sqrt{np(1 - p)}$. При фиксированном $n$ разброс максимален при $p = 1/2$ и стремится к нулю, когда $p$ приближается к 0 или 1; в крайних точках все испытания дают один ответ. После прогона индикатор показывает среднее и стандартное отклонение шариков рядом с этими теоретическими значениями. Они меняются от прогона к прогону, ведь шарики — это выборка. Когда $np(1 - p)$ уже не мало, столбцы становятся похожи на колокол; причину объясняет центральная предельная теорема.