Distribuição binomial

Repita $n$ vezes um ensaio de sim ou não, de forma independente e com a mesma probabilidade $p$ de «sim» em cada vez. O número de respostas sim, $X$, segue então a distribuição binomial: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ para $k = 0, 1, \dots, n$. No tabuleiro de Galton, cada fila de pinos é um ensaio e uma viragem à direita é um sim; por isso, o compartimento de chegada conta as viragens à direita. Os contornos das barras mostram as probabilidades exatas; as bolas que larga preenchem-nos com frequências observadas.

De onde vêm os dois fatores? Uma bola que termina no compartimento $k$ virou $k$ vezes à direita e $n - k$ vezes à esquerda, por alguma ordem. Como as viragens são independentes e $p$ não muda, todos esses percursos têm a mesma probabilidade, com um fator por pino: $p^k(1 - p)^{n-k}$. O número de percursos é o número de formas de escolher quais as $k$ filas, entre as $n$, em que se vira à direita: $\binom{n}{k}$. Contando pino a pino, cada um recebe os percursos dos dois acima, tal como se soma no triângulo de Pascal. Sem estas condições, o produto pode não dar a probabilidade de um percurso. Distribuir cartas sem reposição é um exemplo comum: a probabilidade de a próxima ser de copas depende das cartas já distribuídas, pelo que o número de copas numa mão segue uma distribuição hipergeométrica, e não binomial.

Porque é que o compartimento com mais percursos nem sempre é o mais provável? Considere $0 < p < 1$. O centro do tabuleiro tem mais percursos, mas, quando $p \ne 1/2$, cada um é menos provável do que um percurso com mais viragens para o lado mais provável. «Decompor em fatores» mostra esta disputa numa escala logarítmica, onde o produto se torna uma soma: o número de percursos forma um arco, a probabilidade de um percurso é uma reta de declive $\ln\frac{p}{1-p}$, e a reta inclina o arco. Os compartimentos vizinhos dão o máximo exato: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, que excede 1 enquanto $k < (n+1)p - 1$. Logo, o número mais provável é $\lfloor (n+1)p \rfloor$; quando $(n+1)p$ é inteiro, há empate com o compartimento imediatamente inferior.

Quais são a média e a dispersão? Atribua 1 a cada sim e 0 a cada não; então $X$ é a soma de $n$ valores, cada um com média $p$ e variância $p(1 - p)$. As médias somam-se sempre; em ensaios independentes, as variâncias também. Assim, $X$ tem média $np$ e desvio-padrão $\sqrt{np(1 - p)}$. Para $n$ fixo, a dispersão é máxima em $p = 1/2$ e tende para zero quando $p$ se aproxima de 0 ou de 1; nos extremos, cada ensaio dá a mesma resposta. Após uma sequência, o indicador apresenta a média e o desvio-padrão das bolas ao lado destes valores teóricos. Variam de sequência para sequência, porque as bolas são uma amostra. Quando $np(1 - p)$ deixa de ser pequeno, as barras parecem um sino; o teorema do limite central explica porquê.