Distribuzione binomiale

Ripeti $n$ volte una prova con risposta sì o no, in modo indipendente e con la stessa probabilità $p$ di «sì» ogni volta. Il numero di sì $X$ segue allora la distribuzione binomiale: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ per $k = 0, 1, \dots, n$. Sulla tavola di Galton ogni fila di pioli è una prova e una svolta a destra è un sì; lo scomparto di arrivo conta quindi le svolte a destra. I contorni delle barre mostrano le probabilità esatte; le palline che lasci cadere li riempiono con le frequenze osservate.

Da dove vengono i due fattori? Una pallina che finisce nello scomparto $k$ ha girato $k$ volte a destra e $n - k$ volte a sinistra, in un certo ordine. Poiché le svolte sono indipendenti e $p$ resta costante, ogni percorso di questo tipo ha la stessa probabilità, con un fattore per piolo: $p^k(1 - p)^{n-k}$. Il numero di percorsi è il numero di modi di scegliere in quali $k$ delle $n$ file girare a destra, cioè $\binom{n}{k}$. Contando piolo per piolo, ciascuno riceve i percorsi dei due superiori: è la somma del triangolo di Pascal. Senza queste condizioni, il prodotto non dà necessariamente la probabilità di un percorso. Distribuire carte senza reinserimento è un esempio comune: la probabilità che la prossima sia di cuori dipende dalle carte già distribuite, quindi il numero di cuori in una mano segue una distribuzione ipergeometrica, non binomiale.

Perché lo scomparto con più percorsi non è sempre il più probabile? Consideriamo $0 < p < 1$. Il centro della tavola ha più percorsi, ma quando $p \ne 1/2$, ciascuno è meno probabile di un percorso con più svolte verso il lato più probabile. «Scomponi in fattori» mostra questa competizione su scala logaritmica, dove il prodotto diventa una somma: il numero di percorsi forma un arco, la probabilità di un percorso è una retta di pendenza $\ln\frac{p}{1-p}$, e la retta inclina l’arco. Gli scomparti vicini danno il massimo esatto: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, che supera 1 finché $k < (n+1)p - 1$. Il numero più probabile è dunque $\lfloor (n+1)p \rfloor$; quando $(n+1)p$ è intero, lo scomparto immediatamente inferiore ha la stessa probabilità.

Quali sono la media e la dispersione? Assegna 1 a ogni sì e 0 a ogni no; allora $X$ è la somma di $n$ valori, ciascuno con media $p$ e varianza $p(1 - p)$. Le medie si sommano sempre; per prove indipendenti, anche le varianze. Quindi $X$ ha media $np$ e deviazione standard $\sqrt{np(1 - p)}$. Per $n$ fissato, la dispersione è massima in $p = 1/2$ e tende a zero quando $p$ si avvicina a 0 o 1; agli estremi, ogni prova dà la stessa risposta. Dopo una serie, il display affianca media e deviazione standard delle palline a questi valori teorici. Cambiano da una serie all’altra perché le palline sono un campione. Quando $np(1 - p)$ non è più piccolo, le barre assomigliano a una campana; il teorema del limite centrale spiega perché.