Distribusi binomial

Ulangi percobaan ya-atau-tidak sebanyak $n$ kali secara independen, dengan peluang “ya” yang sama, $p$, setiap kali. Jumlah jawaban ya, $X$, kemudian mengikuti distribusi binomial: $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ untuk $k = 0, 1, \dots, n$. Pada papan Galton, setiap baris pasak adalah satu percobaan dan belokan ke kanan berarti ya, sehingga kotak tempat bola mendarat menghitung belokannya ke kanan. Garis luar batang menunjukkan probabilitas eksak; bola yang dijatuhkan mengisinya sebagai frekuensi pengamatan.

Dari mana kedua faktor itu berasal? Bola yang berakhir di kotak $k$ telah berbelok $k$ kali ke kanan dan $n - k$ kali ke kiri, dalam suatu urutan. Karena belokan saling independen dan $p$ tidak berubah, setiap jalur semacam itu memiliki probabilitas yang sama, dengan satu faktor per pasak: $p^k(1 - p)^{n-k}$. Jumlah jalur tersebut adalah banyaknya cara memilih $k$ dari $n$ baris sebagai belokan ke kanan, yaitu $\binom{n}{k}$. Jika dihitung pasak demi pasak, setiap pasak menerima jalur dari dua pasak di atasnya; itulah penjumlahan dalam segitiga Pascal. Tanpa syarat tersebut, hasil kali ini belum tentu memberikan probabilitas suatu jalur. Membagikan kartu tanpa pengembalian adalah contoh umum: peluang kartu berikutnya berlambang hati bergantung pada kartu yang sudah dibagikan. Jadi jumlah kartu hati dalam satu tangan mengikuti distribusi hipergeometrik, bukan binomial.

Mengapa kotak dengan jalur terbanyak tidak selalu paling mungkin? Ambil $0 < p < 1$. Bagian tengah papan memiliki jalur terbanyak, tetapi ketika $p \ne 1/2$, setiap jalurnya kurang mungkin daripada jalur yang lebih sering berbelok ke sisi yang lebih mungkin. “Uraikan menjadi faktor” menunjukkan persaingan ini pada skala logaritmik, tempat perkalian menjadi penjumlahan: jumlah jalur membentuk lengkungan, peluang satu jalur berupa garis lurus dengan kemiringan $\ln\frac{p}{1-p}$, dan garis itu memiringkan lengkungan. Kotak-kotak bertetangga memberikan puncak secara eksak: $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, yang melebihi 1 selama $k < (n+1)p - 1$. Maka jumlah paling mungkin adalah $\lfloor (n+1)p \rfloor$; jika $(n+1)p$ bilangan bulat, kotak tepat di bawahnya sama mungkin.

Berapa rata-rata dan sebarannya? Beri nilai 1 untuk setiap ya dan 0 untuk setiap tidak; maka $X$ adalah jumlah $n$ nilai, masing-masing dengan rata-rata $p$ dan varians $p(1 - p)$. Rata-rata selalu dapat dijumlahkan, dan untuk percobaan independen, varians juga demikian: $X$ memiliki rata-rata $np$ dan simpangan baku $\sqrt{np(1 - p)}$. Untuk $n$ tetap, sebaran paling lebar saat $p = 1/2$ dan menyusut menuju nol saat $p$ mendekati 0 atau 1; di titik ujung, setiap percobaan menghasilkan jawaban yang sama. Setelah satu putaran, tampilan menempatkan rata-rata dan simpangan baku bola di samping nilai teoretis ini. Keduanya berubah antarputaran karena bola merupakan sampel. Ketika $np(1 - p)$ tidak lagi kecil, batang-batang tampak seperti lonceng; teorema limit pusat menjelaskan alasannya.