Loi binomiale

Répétez $n$ fois un essai à deux réponses, oui ou non, indépendamment et avec la même probabilité $p$ de « oui » à chaque fois. Le nombre de oui $X$ suit alors la loi binomiale : $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$ pour $k = 0, 1, \dots, n$. Sur la planche de Galton, chaque rangée de clous est un essai et un virage à droite est un oui ; la case d’arrivée compte donc les virages à droite. Les contours des barres indiquent les probabilités exactes ; les billes lâchées les remplissent avec les fréquences observées.

D’où viennent les deux facteurs ? Une bille arrivée dans la case $k$ a tourné $k$ fois à droite et $n - k$ fois à gauche, dans un certain ordre. Comme les virages sont indépendants et que $p$ reste constant, chaque trajet de ce type a la même probabilité, avec un facteur par clou : $p^k(1 - p)^{n-k}$. Le nombre de ces trajets est le nombre de façons de choisir les $k$ rangées où tourner à droite parmi les $n$ rangées, soit $\binom{n}{k}$. En comptant clou par clou, chacun reçoit les trajets des deux clous au-dessus : c’est l’addition du triangle de Pascal. Sans ces conditions, le produit ne donne pas nécessairement la probabilité d’un trajet. Distribuer des cartes sans remise est un exemple courant : la probabilité que la prochaine carte soit un cœur dépend des cartes déjà distribuées. Le nombre de cœurs dans une main suit donc une loi hypergéométrique, et non binomiale.

Pourquoi la case ayant le plus de trajets n’est-elle pas toujours la plus probable ? Supposons $0 < p < 1$. Le milieu de la planche a le plus de trajets, mais lorsque $p \ne 1/2$, chacun est moins probable qu’un trajet comportant davantage de virages du côté le plus probable. « Décomposer en facteurs » montre cette concurrence sur une échelle logarithmique, où le produit devient une somme : le nombre de trajets forme une arche, la probabilité d’un trajet est une droite de pente $\ln\frac{p}{1-p}$, et cette droite incline l’arche. Les cases voisines donnent exactement le sommet : $\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$, qui dépasse 1 tant que $k < (n+1)p - 1$. Le nombre le plus probable est donc $\lfloor (n+1)p \rfloor$ ; lorsque $(n+1)p$ est entier, la case juste en dessous est aussi probable.

Quelles sont la moyenne et la dispersion ? Comptez 1 pour chaque oui et 0 pour chaque non : $X$ est alors la somme de $n$ valeurs, chacune de moyenne $p$ et de variance $p(1 - p)$. Les moyennes s’additionnent toujours ; pour des essais indépendants, les variances aussi. Ainsi, $X$ a pour moyenne $np$ et pour écart-type $\sqrt{np(1 - p)}$. À $n$ fixé, la dispersion est maximale pour $p = 1/2$ et tend vers zéro lorsque $p$ approche 0 ou 1 ; aux extrémités, chaque essai donne la même réponse. Après une série, l’affichage place la moyenne et l’écart-type des billes à côté de ces valeurs théoriques. Ils changent d’une série à l’autre, car les billes constituent un échantillon. Dès que $np(1 - p)$ n’est plus petit, les barres ressemblent à une cloche ; le théorème central limite explique pourquoi.