二項分布

「はい」か「いいえ」の試行を、毎回の「はい」の確率を$p$に保って、独立に$n$回繰り返します。「はい」の回数$X$は二項分布に従います：$k = 0, 1, \dots, n$に対して$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k(1 - p)^{n-k}$です。ゴルトンボードでは釘の各段が1回の試行で、右へ進むことが「はい」です。したがって球が入る区画の番号は、右へ進んだ回数になります。棒の輪郭は正確な確率を示し、落とした球の相対度数がその内側を埋めていきます。

2つの因子はどこから来るのでしょう？区画$k$に入った球は、何らかの順番で右へ$k$回、左へ$n - k$回進んでいます。各方向選択は独立で$p$は変わらないため、こうした経路の確率はすべて同じです。釘ごとに因子を掛けると$p^k(1 - p)^{n-k}$になります。経路数は、$n$段から右へ進む$k$段を選ぶ方法の数、$\binom{n}{k}$です。釘ごとに数えると、各釘には上の2つの釘から経路が集まります。これがパスカルの三角形の足し算です。この条件がなければ、積が経路の確率を与えるとは限りません。典型例は、戻さずにカードを配る場合です。次がハートである確率はすでに配ったカードによって変わるので、手札のハートの枚数は二項分布ではなく超幾何分布に従います。

なぜ経路が最多の区画が、必ずしも最も入りやすいとは限らないのでしょうか？$0 < p < 1$の場合を考えます。盤の中央には最も多くの経路がありますが、$p \ne 1/2$なら、それぞれの経路は、より起こりやすい方向へ多く進む経路よりも確率が低くなります。「2つの因子に分ける」では、このせめぎ合いを積が和になる対数目盛で示します。経路数はアーチを描き、1経路の確率は傾き$\ln\frac{p}{1-p}$の直線となり、その直線がアーチを傾けます。隣り合う区画を比べると頂点が正確に求まります：$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p}$は$k < (n+1)p - 1$の間、1より大きくなります。したがって最も起こりやすい回数は$\lfloor (n+1)p \rfloor$です。$(n+1)p$が整数なら、その1つ下の区画も同じ確率になります。

平均とばらつきはどうなるのでしょう？「はい」を1、「いいえ」を0とすると、$X$は$n$個の値の和で、それぞれの平均は$p$、分散は$p(1 - p)$です。平均は常に足し算でき、独立な試行では分散も足し算できます。したがって$X$の平均は$np$、標準偏差は$\sqrt{np(1 - p)}$です。$n$を固定すると、ばらつきは$p = 1/2$で最大になり、$p$が0か1に近づくにつれてゼロに近づきます。端点では、毎回同じ答えになります。球を落とし終えると、球の平均と標準偏差が理論値の隣に表示されます。球は標本なので、これらの値は実行ごとに変わります。$np(1 - p)$が十分大きくなると棒は釣鐘形に近づき、その理由は中心極限定理で説明できます。